Question

如圖，已知拋物線y＝x²＋bx＋c與坐標軸交于A、B、C三點， A點的坐標為（－1，0），過點C的直線y＝x－3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：點C的坐標是_ _，b＝_ _，c＝_ _；

（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；

（3）依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．

（2）由（1），得y＝x²－x－3，它與x軸交于A，B兩點，得B（4，0）．

∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．

由題意，得△BHP∽△BOC，

∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，

∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，

∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．

∴OH＝OB－HB＝4－4t．

由y＝x－3與x軸交于點Q，得Q（4t，0）．

∴OQ＝4t．

①當(dāng)H在Q、B之間時，

QH＝OH－OQ

＝（4－4t）－4t＝4－8t．

②當(dāng)H在O、Q之間時，

QH＝OQ－OH

＝4t－（4－4t）＝8t－4．

綜合①，②得QH＝｜4－8t｜；

（3）存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似．

①當(dāng)H在Q、B之間時，QH＝4－8t，

若△QHP∽△COQ，則QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，

∴t＝．

若△PHQ∽△COQ，則PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，

即t²＋2t－1＝0．

∴t₁＝－1，t₂＝－－1（舍去）．

②當(dāng)H在O、Q之間時，QH＝8t－4．

若△QHP∽△COQ，則QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，

∴t＝．

若△PHQ∽△COQ，則PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，

即t²－2t＋1＝0．

∴t₁＝t₂＝1（舍去）．

綜上所述，存在的值，t₁＝－1，t₂＝，t₃＝．