Question

已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，E是直線AB上一動點（不與點A、B、G重合），直線DE交⊙O于點F，直線CF交直線AB于點P.設(shè)⊙O的半徑為R.

（1）如圖1，當點E在直徑AB上時，試證明：OE·OP＝R².（提示：作直徑FQ交⊙O于Q，并連結(jié)DQ）
（2）當點E在AB（或BA）的延長線上時，以如圖2點E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標注上字母，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由.

Answer 1

（1）連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ

∵FQ是⊙O直徑
∴∠FDQ＝90° 
∴∠QFD＋∠Q＝90°  
∵CD⊥AB
∴∠P＋∠C＝90°
∵∠Q＝∠C
∴∠QFD＝∠P 
∵∠FOE＝∠POF
∴△FOE∽△POF
∴
∴OE·OP＝OF²＝R²；
（2）成立

解析試題分析：（1）連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ．先根據(jù)同角的余角相等得到∠QFD=∠P，再結(jié)合公共角即可證明△FOE∽△POF，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果；
（2）依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM．根據(jù)圓周角定理及等角的余角相等可得∠CFM=∠E，再結(jié)合公共角即可證明△FOE∽△POF，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．
（1）連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ. 

∵FQ是⊙O直徑
∴∠FDQ＝90° 
∴∠QFD＋∠Q＝90°  
∵CD⊥AB
∴∠P＋∠C＝90°
∵∠Q＝∠C
∴∠QFD＝∠P 
∵∠FOE＝∠POF
∴△FOE∽△POF
∴
∴OE·OP＝OF²＝R²； 
（2）如圖，依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM

∵FM是⊙O直徑
∴∠FCM＝90°
∴∠M＋∠CFM＝90°
∵CD⊥AB
∴∠E＋∠D＝90°
∵∠M＝∠D
∴∠CFM＝∠E
∵∠POF＝∠FOE
∴△POF∽△FOE
∴
∴OE·OP＝OF²＝R².
考點：本題考查的是相似三角形的性質(zhì)與判定、垂徑定理，圓周角定理
點評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握直徑所對的圓周角是直角；同角或等角的余角相等；同時熟記相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)邊成比例，同時注意對應(yīng)字母寫在對應(yīng)位置上.