如圖,AB是⊙O直徑,D為⊙O上一點(diǎn),AT平分∠BAD交⊙O于點(diǎn)T,過T作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)C.

(1)求證:CT為⊙O的切線;

(2)若⊙O半徑為2,CT=,求AD的長.

 

【答案】

(1)詳見解析  (2)AD=2

【解析】

試題分析:(1)連接OT,由角平分線性質(zhì)得∠CAT=∠OAT,再由OA=OT“等邊對(duì)等角”,得到∠OAT=∠ATO,所以∠CAT=∠ATO由“內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行”得到AC//OT,再由CT⊥AC得到OT⊥CT,從而得到CT為⊙O的切線;

(2)過O作OG⊥AC于點(diǎn)G,由CT⊥AC,OT⊥CT可得∠OTC=∠TCG=∠CGO=90°,再由“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”得到四邊形OTCG是矩形,由矩形的對(duì)邊相等得OG=CT=,再由勾股定理得AG=1,最后由垂徑定理得AD=2AG=2.

試題解析:(1)連接OT,∵AT平分∠CAB

∴∠CAT=∠OAT

∵OA=OT

∴∠OAT=∠ATO

∴∠CAT=∠ATO

∴AC//OT

又∵CT⊥AC

∴ OT⊥CT

又∵OT是⊙O的半徑

∴CT為⊙O的切線;

(2)過點(diǎn)O作OG⊥AD交AC于點(diǎn)G

又∵CT⊥AC      OT⊥CT

∴∠OTC=∠TCG=∠CGO=90°

∴四邊形OTCG是矩形

∴OG=CT=

在Rt△OGA中,解得AG=1

∵OG⊥AD

∴AD=2AG=2.

考點(diǎn):1、切線的判定定理;2、矩形的判定及性質(zhì);3、垂徑定理.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求證:CT為⊙O的切線;
(2)若⊙O半徑為2,CT=
3
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