Question

（2006•臨沂）附加題：
如圖，PA為⊙O切線，A為切點(diǎn)，PBC為割線，∠APC的平分線交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)M為的中點(diǎn)．
求證：AM⊥PF．

Answer 1

【答案】分析：已知M是弧BC的中點(diǎn)，即∠BAM=∠FAM，因此可通過證△AEF是等腰三角形，從而根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)，可得出AM⊥PF的結(jié)論；∠AEF是△APE的外角，則∠AEF=∠APF+∠PAB；同理可得∠AFP=∠FPC+∠C；由弦切角定理知：∠PAB=∠C，由PF平分∠APC知：∠APF=∠CPF；故∠AEF=∠AFE，由此得證．
解答：證明：∵PF平分∠APC，
∴∠1=∠2，
又∵PA是⊙O的切線，
∴∠C=∠PAB．
∵∠AEF=∠1+∠PAB，∠AFE=∠2+∠C，
∴∠AEF=∠AFE，即AE=AF．
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴∠BAM=∠CAM．
∴AM⊥PF．
點(diǎn)評：綜合考查了三角形外角的性質(zhì)、弦切角定理、圓周角定理的推論和等腰三角形的判定和性質(zhì)．