Question

已知a，b，c是正整數(shù)，且拋物線y=ax²+bx+c與x軸有兩個不同的交點A，B，若A，B到原點的距離都小于1，則a+b+c的最小值為（　　）

• A、8
• B、9
• C、10
• D、11

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：計算題

分析：先根據(jù)方程ax²+bx+c=0有兩個相異根都在（-1，0）中可得到，a-b+c＞0，

c

a

＜1，且b²-4ac＞0，再由不等式的基本性質(zhì)可求出a的取值范圍，再根據(jù)a、b、c之間的關(guān)系即可求解．

解答：解：據(jù)題意得，方程ax²+bx+c=0有兩個相異根，都在（-1，0）中，
故當(dāng)x=-1時，y＞0，則a-b+c＞0，一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根

c

a

=x₁x₂＜1，且b²-4ac＞0①，
∵a，b，c都為正整數(shù)，a-b+c＞0，
∴a-b+c≥1②，且a＞c③，
由b²-4ac＞0，得到b²＞4ac，即b＞2

ac

，
∴a+c≥b+1＞2

ac

+1，即（

a

-

c

）²＞1，
由③得，

a

＞

c

+1，故a＞4，
又b＞2

ac

≥2

5×1

＞4，
故分別取a、b、c的最小整數(shù)5、5、1，經(jīng)檢驗，符合題意，
則a+b+c的最小值為11．
故選D．

點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，基本不等式的運用，以及根的判別式，由a-b+c＞0，

c

a

＜1，且b²-4ac＞0得到關(guān)于a、b、c的關(guān)系式是解答此題的關(guān)鍵．