Question

已知∠AOB=90°，∠COD=30°．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)O、A、C在同一條直線(xiàn)上時(shí)，∠BOD的度數(shù)是

 

；
如圖2，若OB恰好平分∠COD，則∠AOC的度數(shù)是

 

；


（2）當(dāng)∠COD從圖1的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)180°，作射線(xiàn)OM平分∠AOC，射線(xiàn)ON平分∠BOD，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)∠MON的度數(shù)保持不變．
①∠MON的度數(shù)是

 

；
②請(qǐng)選擇下列圖3、圖4、圖5、圖6四種情況中的兩種予以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：角的計(jì)算,角平分線(xiàn)的定義

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)角的計(jì)算法則即可求出∠BOD的度數(shù)，根據(jù)角的平分線(xiàn)定義可得∠BOC=

1

2

∠COD，根據(jù)角的計(jì)算可求出∠AOC的度數(shù)．
（2）∠MOC=

1

2

∠AOC，∠BON=

1

2

∠BOD，再根據(jù)角的計(jì)算進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可求出∠MON的度數(shù)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)O、A、C在同一條直線(xiàn)上
∴∠BOD=∠AOB-∠COD=90°-30°=60°
∵OB平分∠COD
∴∠COB=

1

2

∠COD=

1

2

×30°=15°
∴∠AOC=∠AOB-∠COB=90°-15°=75°

（2）①∠MON=60°
②圖4證明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴∠MOC=

1

2

∠AOC，∠BON=

1

2

∠BOD
∵∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC
=∠AOC+∠BOC+∠BOD
∴∠AOC+∠BOD+2∠BOC=∠AOB+∠COD
=90°+30°=120°
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON
=

1

2

∠AOC+∠BOC+

1

2

∠BOD=

1

2

×120°
=60°
圖5證明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴∠MOC=

1

2

∠AOC，∠BON=

1

2

∠BOD
∵∠AOD=∠AOB+∠COD+∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
∴∠AOC+∠BOD-2∠BOC=∠AOB+∠COD
=90°+30°=120°
∴∠MON=∠MOC+∠CON
=∠MOC+∠BON-∠BOC
=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD-∠BOC
=

1

2

×120°
=60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線(xiàn)定義和角的計(jì)算，關(guān)鍵是求出∠AOC，∠BOD和∠BOC的關(guān)系，然后計(jì)算即可．