Question

已知，如圖1，過點作平行于軸的直線，拋物線上的兩點的橫坐標分別為1和4，直線交軸于點，過點分別作直線的垂線，垂足分別為點、，連接．

（1）求點的坐標；

（2）求證：；

（3）點是拋物線對稱軸右側圖象上的一動點，過點作交軸于點，是否存在點使得與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解:方法一，如圖1，當時,

當時,

∴

設直線的解析式為

則　　　解得

∴直線的解析式為

當時,

方法二:求兩點坐標同方法一,如圖2,作,,垂足分別為、,交軸于點,則四邊形和四邊形均為矩形,設

解得

(2)證明：方法一：在中，

在中，

由（1）得

方法二：由 （1）知

同理：

同理：

即

（3）存在.

解：如圖3，作軸，垂足為點

又

設，則

①當時，

解得

②當時，

解得

綜上，存在點、使得與相似.