Question

【題目】如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分線BE和∠BAC的外角平分線AD相交于點P，分別交AC和BC的延長線于E，D．過P作PF⊥AD交AC的延長線于點H，交BC的延長線于點F，連接AF交DH于點G．則下列結(jié)論：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正確的是（　�。�

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和與角平分線的定義表示出∠CAP，再根據(jù)角平分線的定義∠ABP=∠ABC，然后利用三角形的內(nèi)角和定理整理即可得解；

②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角邊角”證明△ABP和△FBP全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等得到AB=BF，AP=PF；

③根據(jù)直角的關(guān)系求出∠AHP=∠FDP，然后利用“角角邊”證明△AHP與△FDP全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DF=AH；

④根據(jù)PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根據(jù)等角對等邊可得DG=AG，再根據(jù)等腰直角三角形兩腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜邊大于直角邊，AF＞AP，從而得出本小題錯誤.

解：①∵∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線，

∴∠ABP=∠ABC，

∠CAP=（90°+∠ABC）=45°+∠ABC，

在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP，

=180°-（45°+∠ABC+90°-∠ABC）-∠ABC，

=180°-45°- ∠ABC-90°+∠ABC-∠ABC，

=45°，故本小題正確；

②∵PF⊥AD，∠APB=45°（已證），

∴∠APB=∠FPB=45°，

∵∵PB為∠ABC的角平分線，

∴∠ABP=∠FBP，

在△ABP和△FBP中，

，

∴△ABP≌△FBP（ASA），

∴AB=BF，AP=PF；故②正確；

③∵∠ACB=90°，PF⊥AD，

∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，

∴∠AHP=∠FDP，

∵PF⊥AD，

∴∠APH=∠FPD=90°，

在△AHP與△FDP中，

∴△AHP≌△FDP（AAS），

∴DF=AH，

∵BD=DF+BF，

∴BD=AH+AB，

∴BD-AH=AB，故③小題正確；

④∵PF⊥AD，∠ACB=90°，

∴AG⊥DH，

∵AP=PF，PF⊥AD，

∴∠PAF=45°，

∴∠ADG=∠DAG=45°，

∴DG=AG，

∵∠PAF=45°，AG⊥DH，

∴△ADG與△FGH都是等腰直角三角形，

∴DG=AG，GH=GF，

∴DG=GH+AF，

∵AF＞AP，

∴DG=AP+GH不成立，故本小題錯誤，

綜上所述①②③正確．

故選:C.