Question

如圖，C為以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)D．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若CD=3，AC=3，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OC，由CD切⊙O于C，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得OC⊥CD，又由AD⊥CD，可得OC∥AD，又由OA=OC，易證得∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD；
（2）首先過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，由CD=3，AC=3，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可求得AD的長，由垂徑定理，即可得AE的長，然后易證得△AEO∽△ADC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得⊙O的半徑長．
解答：（1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∵CD切⊙O于C，
∴CO⊥CD．
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠BAD；

（2）解：過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，
∵CD=3，AC=3，
在Rt△ADC中，AD==6，
∵OE⊥AC，
∴AE=AC=，
∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，
∴△AEO∽△ADC，
∴，
即，
∴AO=，
即⊙O的半徑為．
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．