Question

已知：如圖，過點(diǎn)C（2，1）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+4于B、A兩點(diǎn)，若二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且頂點(diǎn)在矩形ADBC內(nèi)（包括三邊上），則a的取值范圍是

-

1

2

≤a≤-

1

9

．

Answer 1

分析：由過點(diǎn)C（2，1）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+4于B、A兩點(diǎn)，即可求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，繼而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，又由二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且頂點(diǎn)在矩形ADBC內(nèi)（包括三邊上），可得a＜0，然后由|a|越大，開口越小，可得當(dāng)頂點(diǎn)在頂點(diǎn)在AC上時(shí)，a最小，當(dāng)頂點(diǎn)在頂點(diǎn)在BD上時(shí)，a最大，繼而求得答案．

解答：解：∵過點(diǎn)C（2，1）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+4于B、A兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A（2，2），點(diǎn)B（3，1），
∵四邊形ABCD是矩形，
∴D（3，2），
∵二次函數(shù)頂點(diǎn)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且在矩形ADBC內(nèi)（包括三邊上），
∴a＜0，
∵|a|越大，開口越小，
即a越小，開口越小，
∴當(dāng)頂點(diǎn)在頂點(diǎn)在AC上時(shí)，a最小，
設(shè)此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，m），且1≤m≤2，
則二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-2）²+m，
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴a（0-2）²+m=0，
解得：a=-

m

4

，
∴當(dāng)m=2時(shí)，a最小，a=-

1

2

；
∴當(dāng)頂點(diǎn)在頂點(diǎn)在BD上時(shí)，a最大，
設(shè)此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，n），且1≤n≤2，
則二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-3）²+n，
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴a（0-3）²+n=0，
解得：a=-

n

9

，
∴當(dāng)m=1時(shí)，a最大，a=-

1

9

；
∴a的取值范圍是：-

1

2

≤a≤-

1

9

．
故答案為：-

1

2

≤a≤-

1

9

．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式一般式與頂點(diǎn)式以及矩形的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．