Question

11．已知，在△ABC中，AD為△ABC的角平分線或外角平分線，交BC邊所在的直線于點D，過點C作CM⊥AD于點M，已知AB=AD．
（1）當AD為△ABC的角平分線（如圖1），求證：AC-AB=2DM；
（2）當AD為△ABC的角平分線（如圖2，3），其它條件不變，請分別寫出線段AC、AB、DM之間的數(shù)量關系；
（3）當AD為△ABC的角平分線（如圖3），請證明線段AC、AB、DM之間的數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）如圖1，延長CM、AB交于點G，作MN∥AG交BC于點N．只要證明AG=AC、DM=MN，MN是△BCG的中位線即可解決問題；
（2）如圖2，結論：AB+AC=2DM．如圖3，結論：AB+AC=2DM．延長CM、BA交于點G，作MN∥AB交BC于點N，即可得出結論；
（3）如圖3，延長CM、BA交于點G，作MN∥AB交BC于點N，根據(jù)三角形中位線定理進行證明即可．

解答 解：（1）證明：如圖1，延長CM、AB交于點G，作MN∥AG交BC于點N．
∵AM⊥CG，
∴∠AMG=∠AMC=90°，
∴∠G+∠GAM=90°，∠ACM+∠CAM=90°，
∵∠GAM=∠CAM，
∴∠G=∠ACM，
∴AC=AG，
∵AM⊥CG，
∴GM=MC，
∵MN∥BG，
∴BN=NC，
∴MN=$\frac{1}{2}$BG，即BG=2MN，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABD=∠MND，∠ADB=∠MDN，
∴∠MND=∠MDN，
∴DM=MN，
∴BG=2DM．
∵AC-AB=AG+AB=BG，
∴AC-AB=2DM．

（2）圖2中，線段AC、AB、DM之間的數(shù)量關系為：AB+AC=2DM．
圖3中，線段AC、AB、DM之間的數(shù)量關系為：AB+AC=2DM．
理由：如圖2，延長CM、BA交于點G，作MN∥AB交BC于點N．
∵AM⊥CG，
∴∠AMG=∠AMC=90°，
∴∠AGM+∠GAM=90°，∠ACM+∠CAM=90°
∵∠GAM=∠CAM，
∴∠AGM=∠ACM，
∴AC=AG，
∵AM⊥CG，
∴GM=MC，
∵MN∥BG，
∴BN=NC，
∴MN=$\frac{1}{2}$BG，即BG=2MN，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠D，
∵∠ABD=∠MND，
∴∠MND=∠MDN，
∴DM=MN，
∴BG=2DM．
∵AC+AB=AG+AB=BG，
∴AC+AB=2DM．

（3）如圖3，結論為：AB+AC=2DM．
證明：延長CM、BA交于點G，作MN∥AB交BC于點N．
∵AM⊥CG，
∴∠AMG=∠AMC=90°，
∴∠G+∠GAM=90°，∠ACM+∠CAM=90°
∵∠DAB=∠DAP，∠DAB=∠GAM，∠DAP=∠CAM，
∴∠GAM=∠CAM，
∴∠AGM=∠ACM，
∴AC=AG，
∵AM⊥CG，
∴GM=MC，
∵MN∥BG，
∴BN=NC，
∴MN=$\frac{1}{2}$BG，即BG=2MN，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠D，
∵∠ABD=∠MND，
∴∠MND=∠MDN，
∴DM=MN，
∴BG=2DM．
∵AC+AB=AG+AB=BG，
∴AC+AB=2DM．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了三角形中位線定理、等腰三角形的判定和性質、平行線性質，平行線等分線段定理等知識的綜合應用，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，利用三角形中位線定理解決問題．解題時注意：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．