Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D是BC上一動點（不與B、C重合），在AC上取E點，使∠ADE=45°．
（1）求證：∠EDC=∠BAD；
（2）當△ADE是等腰三角形時，求AE的長．

Answer 1

考點：等腰三角形的性質

專題：

分析：（1）通過等腰直角三角形的性質及三角形外角與內(nèi)角的關系就可以得出∠BAD=∠CDE；
（2）當△ABD∽△DCE時，可能是DA=DE，也可能是ED=EA，所以要分兩種情況證明結論．

解答：（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠ADE=45°，
∴∠B=∠C=∠ADE．
∵∠ADB=∠C+∠DAC，∠DEC=∠ADE+∠DAC，
∴∠ADB=∠DEC．
∵∠ADC+∠B+∠BAD=180，∠DEC+∠C+∠CDE=180°，
∴∠ADC+∠B+∠BAD=∠DEC+∠C+∠CDE，
∴∠EDC=∠BAD；

（2）解：∵∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，
∴當△ADE是等腰三角形時，第一種可能是AD=DE．
又∵△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE．
∴CD=AB=2．
∴BD=2

2

-2．
∵BD=CE，
∴AE=AC-CE=4-2

2

．
當△ADE是等腰三角形時，第二種可能是ED=EA．
∵∠ADE=45°，
∴此時有∠DEA=90°．
即△ADE為等腰直角三角形．
∴AE=DE=

1

2

AC=1．
當AD=EA時，點D與點B重合，不合題意，所以舍去，
因此AE的長為4-2

2

或1．

點評：本題考查了三角形外角與內(nèi)角之間的關系的運用，解答時證明三角形相似是關鍵．第三問的關鍵是分類討論，要考慮等腰的幾種不同情況．