Question

如圖，直線l₁：y=kx+b平行于直線y=x﹣1，且與直線l₂：相交于點(diǎn)P（﹣1，0）．
（1）求直線l₁、l₂的解析式；
（2）直線l₁與y軸交于點(diǎn)A．一動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l₂上的點(diǎn)B₁處后，改為垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l₁上的點(diǎn)A₁處后，再沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l₂上的點(diǎn)B₂處后，又改為垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l₁上的點(diǎn)A₂處后，仍沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，… 照此規(guī)律運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C依次經(jīng)過(guò)點(diǎn)B₁，A₁，B₂，A₂，B₃，A₃，…，B_n，A_n，…
①求點(diǎn)B₁，B₂，A₁，A₂的坐標(biāo)；
②請(qǐng)你通過(guò)歸納得出點(diǎn)A_n、B_n的坐標(biāo)；并求當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C到達(dá)A_n處時(shí)，運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)？

Answer 1

解：（1）∵y=kx+b平行于直線y=x﹣1，
∴y=x+b
∵過(guò)P（﹣1，0），
∴﹣1+b=0，
∴b=1
∴直線l₁的解析式為y=x+1；
∵點(diǎn)P（﹣1，0）在直線l₂上，
∴；
∴；
∴直線l₂的解析式為；
（2）①A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
則B₁點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，設(shè)B₁（x₁，1），
∴；
∴x₁=1；
∴B₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）；
則A₁點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，設(shè)A₁（1，y₁）
∴y₁=1+1=2；
∴A₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），即（2¹﹣1，2¹）；
同理，可得B₂（3，2），A₂（3，4），即（2²﹣1，2²）；
②經(jīng)過(guò)歸納得A_n（2^n﹣1，2ⁿ），B_n（2ⁿ﹣1，2^n﹣1）；
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C到達(dá)A_n處時(shí)，運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)為A_n點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和再減去1，
即2ⁿ﹣1+2ⁿ﹣1=2ⁿ⁺¹﹣2．