Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+ax+c與y軸交于點(diǎn)C（0，2），與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）M是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，且ON=2OM，分別連接MC、MN．當(dāng)△MNC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．
（3）若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0）．問(wèn)：是否存在直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，得
解得
∴所求拋物線的解析式為：y=-x²-x+2

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），則OM=m，ON=2m，CN=2-2m．
S_△MNC=NC•OM=（2-2m）•m=-m²+m=-（m-）²+
由-x²-x+2=0
得x₁=-2，x₂=1．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．
則0＜m＜1，
∴當(dāng)m=時(shí)，S_△MNC有最大值
此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，1）．

（3）在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（-2，0），D（-1，0），
∴AD=DO=DF=1．
又在Rt△AOC中，OA=OC=2，
∴∠OAC=45度．
∴∠DFA=∠OAC=45度．
∴∠ADF=90度．此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，1）．
由-x²-x+2=1，x；₁=，x₂=此時(shí)，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，1）或（，1）
②若FO=FD，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥x軸于點(diǎn)E．
由等腰三角形△AEF中，F(xiàn)E=AE=．
∴F（-，）
由-x²-x+2=，
得x₁=，x₂=此時(shí)，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，）或（，）
③若OF=OD，∵OA=OC=2，且∠AOC=90°，
∴AC=2．
∴點(diǎn)O到AC的距離為，而OF=OD=1＜，
此時(shí)，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，1）或（，1）或（，）或（，）．
分析：（1）將A、C的坐標(biāo)代入拋物線中進(jìn)行求解即可．
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出OB的長(zhǎng)，然后設(shè)M的坐標(biāo)為（m，0），可用m表示OM和NC的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出關(guān)于△CMN的面積與m之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和m的取值范圍即可求出△CNM的最大值及對(duì)應(yīng)的M、N的坐標(biāo)．
（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論：
①OF=DF，此時(shí)F必在OD的垂直平分線上，即F的橫坐標(biāo)為-，可根據(jù)直線AC的解析式求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將F的縱坐標(biāo)代入拋物線中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②OD=DF，DF=1，易知：OA=OC=2，因此AD=OD=DF=1，三角形AFO為等腰直角三角形，因此可得出F（-1，1），后同①．
③當(dāng)OD=DF=1時(shí)，②中已經(jīng)得出△OAC為等腰直角三角形，因此O到AC的距離為＞1，因此這種情況不成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．