Question

孔明是一個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線y=ax²（a＜0）的性質(zhì)時(shí)，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，請解答以下問題：
（1）若測得 OA=OB=（如圖1），求a的值；
（2）對(duì)同一條拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時(shí)，過B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，測得OF=1，寫出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；
（3）對(duì)該拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)A、B的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，試說明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）設(shè)線段AB與y軸的交點(diǎn)為C，由拋物線的對(duì)稱性可得C為AB中點(diǎn)， ∵OA=OB=，∠AOB=90°， ∴AC=OC=BC=2， ∴B（2，-2） 將B（2，-2）代入拋物線y=ax2（a＜0）得，a=-， （2）：過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E， ∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1， ∴B（1，-）， ∴BF= 又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF， 又∠AEO=∠OFB=90°， ∴△AEO∽△OFB， ∴， ∴AE=2OE 設(shè)點(diǎn)A（-m，-m2）（m＞0），則OE=m，AE=m2， ∴m2=2m， ∴m=4，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4； （3）設(shè)A（-m，-m2）（m＞0），B（n，-n2）（n＞0）， 設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，則 （1）×n+（2）×m得，（m+n）b=-（m2n+mn2）=-mn（m+n）， ∴b=-mn 又易知△AEO∽△OFB， ∴， ∴， ∴mn=4 ∴ b=-×4=-2， 由此可知不論k為何值，直線AB恒過點(diǎn)（0，-2）。