Question

（2012•溫州模擬）如圖，拋物線y1=ax2-2ax+b的頂點(diǎn)為D，與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，且OB=2OC=3．
（1）求a，b的值；
（2）將45°角的頂點(diǎn)P在線段OB上滑動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），該角的一邊過(guò)點(diǎn)D，另一邊與BD交于點(diǎn)Q，設(shè)P（x，0），y₂=

2

DQ，試求出y₂關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線x=m，x=m+

1

2

分別與拋物線y₁交于點(diǎn)E，G，與y₂的函數(shù)圖象交于點(diǎn)F，H．問(wèn)點(diǎn)E、F、H、G圍成四邊形的面積能否為

5

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？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知，OB=2，OC=3可得，拋物線y₁=ax²-2ax+b經(jīng)過(guò)B（3，0），C（0，

3

2

）兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式中的未知數(shù)的值即可確定其解析式；
（2）作DN⊥AB，垂足為N．首先根據(jù)拋物線的解析式求得D、N、A、B的坐標(biāo)然后轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)利用勾股定理得到有關(guān)x的關(guān)系式即可確定y₂的解析式；
（3）假設(shè)E、F、H、G圍成四邊形的面積能為

5

32

，從假設(shè)出發(fā)求得m的值就說(shuō)明存在，否則就不存在．

解答：解：（1）∵OB=2，OC=

3

2

，
∴拋物線y₁=ax²-2ax+b經(jīng)過(guò)B（3，0），C（0，

3

2

）兩點(diǎn)，
∴

9a-3a+b=0 b= 3 2

，
∴

a=- 1 2 b= 3 2

∴拋物線的解析式為y₁=-

1

2

x²+x+

3

2

．

（2）作DN⊥AB，垂足為N．（如下圖1）
由y₁=-

1

2

x²+x+

3

2

易得D（1，2），N（1，0），A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，DN=BN=2，DB=2

2

，
∠DBN=45°．根據(jù)勾股定理有BD ²-BN ²=PD ²-PN ²．
∴（2

2

）²-2²=PD²-（1-x）²①
又∵∠DPQ=45°=∠DBP，
∴△PQD∽△BPD
∴PD²=DQ×DB=

2

2

y₂×2

2

②．
由①②得y₂=

1

2

x²-x+

5

2

．
∵0≤x＜3，
∴y₂與x的函數(shù)關(guān)系式為y₂=

1

2

x²-x+

5

2

=

1

2

（x-1）²+2（0≤x＜3）．
（自變量取值范圍沒(méi)寫，不扣分）

（3）假設(shè)E、F、H、G圍成四邊形的面積能為

5

32

  （如圖2）
∵點(diǎn)E、G是拋物線y₁=-

1

2

x²+x+

3

2

=-

1

2

 （x-1）²+2（分別與直線x=m，x=m+

1

2

的交點(diǎn)
∴點(diǎn)E、G坐標(biāo)為 E[m，-

1

2

（m-1）²+2]，G[m+

1

2

，-

1

2

（m-1）²+2]．
同理，點(diǎn)F、H坐標(biāo) 為F[m，

1

2

（m-1）²+2]，H[m+

1

2

，-

1

2

（m-

1

2

）²+2]．
∴EF=-

1

2

（m-1）²+2-[-

1

2

（m-1）²+2]=（m-1）²
GH=

1

2

（m-

1

2

）²+2-[-

1

2

（m-

1

2

）²+2]=（m-

1

2

）²．
∵四邊形EFHG是平行四邊形或梯形，
∴S=

1

2

[（m-1）²+（m-

1

2

）²]×

1

2

=

5

32

化簡(jiǎn)得16m²-24m+5=0
解得，m=

1

4

或

5

4

（都在0≤x≤3內(nèi)）
所以，當(dāng)，m=

1

4

或

5

4

時(shí)，E、F、H、G圍成四邊形的面積為

5

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，此類題目往往是中考題的壓軸題，特別是存在型問(wèn)題更是最近幾年中考題的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題．