精英家教網(wǎng)如圖,已知AB為⊙O的直徑,BD為⊙O的切線,過點B的弦BC⊥OD交⊙O于點C,垂足為M.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)當BC=BD,且BD=6cm時,求圖中陰影部分的面積(結果不取近似值).
分析:(1)連接OC,證明∠OCD=90°.根據(jù)垂徑定理得OD垂直平分BC,所以DB=DC.從而△OBD≌△OCD,得∠OCD=∠OBD=90°;
(2)陰影面積=S扇形OBC-S△OBC.根據(jù)切線長定理知△BCD為等邊三角形,可求∠BOC的度數(shù),運用相關公式計算.
解答:(1)證明:連接OC.
∵OD⊥BC,O為圓心,
∴OD平分BC.
∴DB=DC,
在△OBD與△OCD中,
OB=OC
DO=DO
DB=DC

∴△OBD≌△OCD.(SSS)
∴∠OCD=∠OBD.
又∵AB為⊙O的直徑,BD為⊙O的切線,
∴∠OCD=∠OBD=90°,精英家教網(wǎng)
∴CD是⊙O的切線;

(2)解:∵DB、DC為切線,B、C為切點,
∴DB=DC.
又DB=BC=6,
∴△BCD為等邊三角形.
∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°,
∠OBM=90°-60°=30°,BM=3.
∴OM=BM•tan30°=
3
,OB=2OM=2
3

∴S陰影部分=S扇形OBC-S△OBC
=
120×π×(2
3
) 2
360
-
1
2
×6×
3

=4π-3
3
(cm2).
點評:此題考查了切線的判定及性質(zhì)、切線長定理、有關圖形的面積計算等知識點,難度中等.
練習冊系列答案
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22、如圖,已知AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,CD⊥AB于D,AD=9,BD=4,以C為圓心,CD為半徑的圓與⊙O相交于P,Q兩點,弦PQ交CD于E,則PE•EQ的值是( 。

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精英家教網(wǎng)如圖,已知AB為半⊙O的直徑,直線MN與⊙O相切于C點,AE⊥MN于E,BF⊥MN于F.
求證:(1)AE+BF=AB;(2)EF2=4AE•BF.

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如圖,已知AB為⊙O的直徑,直線l與⊙O相切于點D,AC⊥l于C,AC交⊙O于點E,DF⊥AB于F.
(1)圖中哪條線段與BF相等?試證明你的結論;
(2)若AE=3,CD=2,求⊙O的直徑.

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(2012•包頭)如圖,已知AB為⊙O的直徑,過⊙O上的點C的切線交AB的延長線于點E,AD⊥EC于點D且交⊙O于點F,連接BC,CF,AC.
(1)求證:BC=CF;
(2)若AD=6,DE=8,求BE的長;
(3)求證:AF+2DF=AB.

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(2012•呼和浩特)如圖,已知AB為⊙O的直徑,PA與⊙O相切于點A,線段OP與弦AC垂直并相交于點D,OP與弧AC相交于點E,連接BC.
(1)求證:∠PAC=∠B,且PA•BC=AB•CD;
(2)若PA=10,sinP=
35
,求PE的長.

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