Question

13．如圖①，已知二次函數(shù)y=-x²+2x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求△ABC的面積．
（2）點(diǎn)M在OB邊上以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)N在BC邊上以每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位得速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動，同時(shí)停止．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒，試求當(dāng)t為何值時(shí)，以B、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？
（3）如圖②，點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q為對稱軸上的動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以P、Q、C、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四變形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（2）根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似，可得△BMN與△BOC的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得①BQ=PC或②BC=PQ；根據(jù)BQ∥PC，BQ=PC，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)PQ=BC，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得a的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即C（0，3），
當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2x+3=0，解得x=-1，x=3，即A（-1，0），B（3，0）；
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×[3-（-1）]×3=6；
（2）若∠BMN=90°，如圖1：，
BM=（3-t），BN=$\sqrt{2}$t，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
△BMN∽△BOC，
$\frac{BM}{BO}$=$\frac{BN}{BC}$，即$\frac{3-t}{3}$=$\frac{\sqrt{2}t}{3\sqrt{2}}$．

$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$（3-t），解得t=$\frac{3}{2}$；
若∠BNM=90°時(shí)，如圖2：，
BM=（3-t），BN=$\sqrt{2}$t，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
△BMN∽△BCO，
$\frac{BN}{OB}$=$\frac{BM}{BC}$，即$\frac{\sqrt{2}t}{3}$=$\frac{3-t}{3\sqrt{2}}$，
3-t=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$t，解得t=1；
綜上所述：t=1或t=$\frac{3}{2}$；
（3）如圖3：，
若CB為對角線，即CP∥QB，CP₁=Q₁B=3-1=2，y${\;}_{{P}_{1}}$=y_C=3，
P₁（2，3）；
CB為邊，即CB∥PQ，CB=PQ，
設(shè)P（a，b），D（1，b），Q（1，a+b-1）．
PQ=CB，即（a-1）²+（1-a）²=18，
化簡，得
a²-2a-8=0．
解得a=-2或a=4．
當(dāng)a=-2時(shí)，b=-（-2）²+2×（-2）+3=-5，
即P₂（-2，-5）；
當(dāng)a=4時(shí)，b=-4²+2×4+3=-5，
即P₃（4，-5）；
綜上所述：P₁（2，3），P₂（-2，-5），P₃（4，-5）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系得出A、B、C的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；（2）利用相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏；（3）利用平行四邊形的對邊相等得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．