Question

已知二次函數(shù)y=-x²+（m-2）x+m+1．
（1）試說明：不論m取任何實數(shù)，這個二次函數(shù)的圖象必與x軸有兩個交點．
（2）當(dāng)m為何值時，這兩個交點都在原點的左側(cè)？
（3）當(dāng)m為何值時，這個二次函數(shù)的圖象的對稱軸是y軸？

Answer 1

（1）證明：△=（m-2）²-4×（-1）×（m+1）
=m²+8，
∵m²≥0，
∴m²+8＞0，即△＞0，
∴不論m取任何實數(shù)，這個二次函數(shù)的圖象必與x軸有兩個交點；

（2）解：設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點坐標(biāo)為（x₁，0），（x₂，0），則x₁和x₂為關(guān)于x的方程-x²+（m-2）x+m+1=0的兩不等實數(shù)根，且x₁＜0，x₂＜0，
∴x₁+x₂=m-2＜0，x₁•x₂=-（m+1）＞0，
∴m＜-1；
即m＜-1時，這兩個交點都在原點的左側(cè)；

（3）根據(jù)題意得x=-=0，
解得m=2，
即m=2時，這個二次函數(shù)的圖象的對稱軸是y軸．
分析：（1）先計算方程-x²+（m-2）x+m+1=0的判別式得到△=m²+8，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)有△＞0，然后根據(jù)拋物線與x軸的交點問題即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點坐標(biāo)為（x₁，0），（x₂，0），根據(jù)拋物線與x軸的交點問題得到x₁和x₂為關(guān)于x的方程-x²+（m-2）x+m+1=0的兩不等實數(shù)根，且x₁＜0，x₂＜0，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=m-2＜0，x₁•x₂=-（m+1）＞0，再求出兩個不等式的公共部分即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到-=0，然后解方程即可．
點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系：△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)；△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和二次函數(shù)的性質(zhì)．