Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知線(xiàn)段a，P為線(xiàn)段a上任意一點(diǎn)，已知圖形M，Q為圖形M上任意一點(diǎn)，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)間的距離最小時(shí)，將此時(shí)PQ的長(zhǎng)度稱(chēng)為圖形M與線(xiàn)段a的近點(diǎn)距；當(dāng)P，Q兩點(diǎn)間的距離最大時(shí)，將此時(shí)PQ的長(zhǎng)度稱(chēng)為圖形M與線(xiàn)段a的遠(yuǎn)點(diǎn)距．

根據(jù)閱讀材料解決下列問(wèn)題：

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），正方形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)O．

（1）線(xiàn)段AB與線(xiàn)段CD的近點(diǎn)距是　 　，遠(yuǎn)點(diǎn)距是　 　．

（2）如圖2，直線(xiàn)y＝﹣x+6與x軸，y軸分別交于點(diǎn)E，F，則線(xiàn)段EF和正方形ABCD的近點(diǎn)距是　 　，遠(yuǎn)點(diǎn)距是　 　；

（3）直線(xiàn)y＝x+b（b≠0）與x軸，y軸分別交于點(diǎn)R，S，線(xiàn)段RS與正方形ABCD的近距點(diǎn)是，則b的值是　 　；

（4）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)矩形GHMN，若此矩形至少有一個(gè)頂點(diǎn)在以O為圓心1為半徑的圓上，其余各點(diǎn)可能在圓上或圓內(nèi)，將正方形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，它與矩形GHMN的近點(diǎn)距的最小值是　 ，遠(yuǎn)點(diǎn)距的最大值是　 　．

Answer 1

【答案】（1）4，4；（2），；（3）±8；（4）1，2+1．

【解析】

（1）線(xiàn)段AB與線(xiàn)段CD的近點(diǎn)距是正方形的邊長(zhǎng)，遠(yuǎn)點(diǎn)距是正方形的對(duì)角線(xiàn)；

（2）如圖2中，連接AC，，延長(zhǎng)AC交EF于M．解直角三角形求出，，即可解決問(wèn)題；

（3）如圖3中，設(shè)直線(xiàn)BD交直線(xiàn)y＝x+b于M，N．由題意當(dāng)DM＝BN＝2時(shí)，線(xiàn)段RS與正方形ABCD的近距點(diǎn)是2，作MP⊥OR于P，由△OPM是等腰直角三角形，OM＝4，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

（4）如圖4中，作正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓．利用圖象法解決問(wèn)題即可．

（1）線(xiàn)段AB與線(xiàn)段CD的近點(diǎn)距是正方形的邊長(zhǎng)＝4，

遠(yuǎn)點(diǎn)距是正方形的對(duì)角線(xiàn)＝4．

故答案為4，4．

（2）如圖2中，連接AC，，延長(zhǎng)AC交EF于M．

直線(xiàn)y＝﹣x+6與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是：E(6，0)，F(0，6)，

∵四邊形ABCD是正方形，且OE＝OF＝6，

∴OM平分∠EOF，

∴OM⊥EF，，

∴ME＝MF，

∴OM＝EF＝3，

∵OC＝OA＝2，

∴AM＝5，CM＝，

∴

∴線(xiàn)段EF和正方形ABCD的近點(diǎn)距是，遠(yuǎn)點(diǎn)距是．

故答案為：，．

（3）如圖3中，設(shè)直線(xiàn)BD交直線(xiàn)y＝x+b于M，N．

由題意當(dāng)DM＝BN＝2時(shí)，線(xiàn)段RS與正方形ABCD的近距點(diǎn)是2，

作MP⊥OR于P，

∵△OPM是等腰直角三角形，OM＝4，

∴PM＝OP＝4，

∴M（﹣4，4），同法可得N（4，﹣4），

把M（﹣4，4），代入y＝x+b得到b＝8，

把N′（4，﹣4），代入y＝x+b得到b＝﹣8，

故答案為：±8．

（4）如圖4中，作正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓．

　

觀察圖象可知將正方形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，它與矩形GHMN的近點(diǎn)距的最小值是：1，遠(yuǎn)點(diǎn)距的最大值是：，

故答案為：1，．