Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半徑為1的圓A與邊AB相交于點D，與邊AC相交于點E，連接DE并延長，與線段BC的延長線交于點P．已知tan∠BPD=，CE=2，則△ABC的周長是    ．

Answer 1

【答案】分析：過點D作DQ⊥AC于Q，可用未知數(shù)表示出QE的長，根據(jù)∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的長；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的長，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的長；易證得△ADQ∽△ABC，根據(jù)得到的比例線段可求出BD、BC的表達式，進而可根據(jù)三角形周長的計算方法得到周長與CE的關(guān)系式，從而解得三角形的周長．
解答：解：過D點作DQ⊥AC于點Q．
則△DQE與△PCE相似，設AQ=a，則QE=1-a．
∴且tan∠BPD=，
∴DQ=2（1-a）．
∵在Rt△ADQ中，據(jù)勾股定理得：AD²=AQ²+DQ²
即：1²=a²+【2（1-a）】²，
解之得a=1（不合題意，舍去），或a=．
∵△ADQ與△ABC相似，
∴====．
∴AB=5AD=5，BC=5DQ=4，AC=5AQ=3，
∴三角形ABC的周長是：AB+BC+AC=5+4+3=12；
故答案為：12．
點評：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識的綜合應用能力，難度較大．解題時，借助于輔助線“過D點作DQ⊥AC于點Q”構(gòu)建相似三角形△DQE∽△PCE、△ADQ∽△ABC．