Question

一位同學(xué)拿了兩塊45°三角尺△MNK，△ACB做了一個(gè)探究活動(dòng)：將△MNK的直角頂點(diǎn)M放在△ABC的斜邊AB的中點(diǎn)處，設(shè)AC=BC=4．
（1）如圖（1），兩三角尺的重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積為_(kāi)_____，周長(zhǎng)為_(kāi)_____．
（2）將圖（1）中的△MNK繞頂點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到圖（2），此時(shí)重疊部分的面積為_(kāi)_____，周長(zhǎng)為_(kāi)_____．
（3）如果將△MNK繞M旋轉(zhuǎn)到不同于圖（1）和圖（2）的圖形，如圖（3），請(qǐng)你猜想此時(shí)重疊部分的面積為_(kāi)_____．

Answer 1

解：（1）∵AC=BC=4，
∴AB===4，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴CM⊥AB，AM=CM=AB=×4=2，
∴陰影部分的面積=AM•CM=×2×2=4，
周長(zhǎng)=AB+AM+CM=4+2+2=4+4；

（2）設(shè)MN與AC的交點(diǎn)為D，BC與MK的交點(diǎn)為G，
∵旋轉(zhuǎn)角是45°，
∴∠AMD=45°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴∠AMD=∠B=45°，
∴DM∥BC，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴DM是△ABC的中位線，
∴DM=BC=×4=2，
同理可得，MG=AC=×4=2，
∴四邊形DCGM是正方形，
∴陰影部分的面積=2²=4，
周長(zhǎng)=2×4=8；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AC于E，作MF⊥BC于F，
∵M(jìn)是等腰直角△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，
∴四邊形ECMF是正方形，
∴ME=MF，
∵∠DME+∠EMG=∠NMK=90°，
∠GMF+∠EMG=∠EMF=90°，
∴∠DME=∠GMF，
在△DME和△GMF中，
，
∴△DME≌△GMF（ASA），
∴S_△DME=S_△GMF，
∴陰影部分的面積=正方形ECMF的面積，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴ME是△ABC的中位線，
∴ME=BC=×4=2，
∴正方形ECMF的面積=2²=4，
∴陰影部分的面積=4．
故答案為：（1）4，4+4；（2）4，8；（3）4．
分析：（1）利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CM⊥AB，AM=CM=AB，然后求解即可；
（2）設(shè)MN與AC的交點(diǎn)為D，BC與MK的交點(diǎn)為G，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是45°求出∠AMD=45°，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出DM∥BC，從而判定DM是△ABC的中位線，然后求出DM=BC，同理求出MG=AC，判斷出四邊形DCGM是正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出面積與周長(zhǎng)即可；
（3）過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AC于E，作MF⊥BC于F，可得四邊形ECMF是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得ME=MF，再根據(jù)同角的余角相等求出∠DME=∠GMF，然后利用“角邊角”證明△DME和△GMF全等，根據(jù)全等三角形面積相等可得△DME和△GMF的面積相等，然后求出陰影部分的面積等于正方形ECMF的面積，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出ME，然后求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，以及正方形的判定與性質(zhì)，（3）作輔助線構(gòu)造出全等三角形與正方形并求出陰影部分的面積等于正方形的面積是解題的關(guān)鍵．