Question

（1）填空：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D作輔助線DE⊥AB于點(diǎn)E，則可以得到AC、CD、AB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為________．
（2）如圖，若將（1）中條件“Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°”改為“△ABC中，∠C=2∠B”請(qǐng)問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的猜想．

Answer 1

解：（1）∵∠C=∠AED=90°，AD是△ABC的角平分線，
∴CD=DE；
在Rt△ACD與Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；
又∵∠B=45°，
∴∠DEB=45°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余），
∴DE=EB（等角對(duì)等邊），
∴AB=AE+EB=AC+CD，即AB=AC+CD；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．
理由如下：
∵AD是∠CAB的角平分線，
∴將△CAB沿AD折疊，點(diǎn)C落在AB邊上的C′處，
∴△ACD≌△AC′D，
∴AC=AC′，CD=C′D，∠C=∠1=2∠B；
又∵∠1=∠2+∠B，
∴∠2=∠B，
∴C′D=C′B，
∴AB=AC′+BC′=AC+CD，即AB=AC+CD．
分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理HL知Rt△ACD≌Rt△AED；然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)推知AB=AE+EB=AC+CD，即AB=AC+CD；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，將△CAB沿AD折疊，點(diǎn)C落在AB邊上的C′處，所以△ACD≌△AC′D；然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)推知AC=AC′，CD=C′D，∠C=∠1=2∠B；最后由外角定理以及等腰三角形的性質(zhì)可以推知（1）的結(jié)論仍然成立．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)．解答（1）時(shí)，由已知能夠注意到點(diǎn)D到AC的距離與到AB的距離相等是證明△DEB的關(guān)鍵．