Question

（2012•西湖區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B坐標分別為（8，4），（0，4），點C，D在x軸上，C（t，0），D（t+3，0）（0＜t≤5），過點D作x軸的垂線交線段AB于點E，交OA于點G，連接CE交OA于點F
（1）請用含t的代數(shù)式表示線段AE與EF的長；
（2）若當△EFG的面積為

12

5

時，點G恰在y=

k

x

的圖象上，求k的值；
（3）若存在點Q（0，2t）與點R，其中點R在（2）中的y=

k

x

的圖象上，以A，C，Q，R為頂點的四邊形是平行四邊形，求R點的坐標．

Answer 1

分析：（1）判斷出四邊形BODE是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得BE、DE的長度，再根據(jù)點A、點D的坐標求出AB、BE的長度，然后根據(jù)AE=AB-BE，計算即可求出AE，求出CD的長度，然后利用勾股定理求出CE的長度，再根據(jù)△OCF和△AEF相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出EF與FC的比值，即可得解；
（2）求出直線OA的解析式，然后求出GD的長度，從而可得EG的長度，過點F作FH⊥GD于點H，根據(jù)∠CED的正弦值求出FH的長度，再利用△EFG的面積列式求出t的值，即可得到點D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式解答即可；
（3）當AC為平行四邊形的對角線時，根據(jù)中點公式求出平行四邊形的中心坐標，再根據(jù)中心與點Q的坐標求出點R的坐標，然后根據(jù)點R在反比例函數(shù)圖象上，把點R的坐標代入反比例函數(shù)解析式，計算求出t的值，即可得到點R的坐標，當CQ、AQ為平行四邊形的對角線時，同理求解即可．

解答：解：（1）∵點A，B坐標分別為（8，4），（0，4），DE⊥x軸，
∴四邊形BODE是矩形，
∴BE=OD，DE=OB，
又點A（8，4），B（0，4），D（t+3，0），
∴AB=8，BE=t+3，DE=4，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t，
又CD=（t+3）-t=3，
根據(jù)勾股定理可得CE=

32+42

=5，
∵AB∥CD，∴△OCF∽△AEF，
∴

CF

EF

=

OC

AE

=

t

5-t

，
∴EF=

5-t

5-t+t

×5=5-t；

（2）由點A（8，4）容易求出直線OA的解析式為y=

1

2

x，
∵點D（t+3，0），
∴GD=

1

2

（t+3），
EG=4-

1

2

（t+3）=

1

2

（5-t），
過F作FH⊥GD，交GD于點H，
sin∠CED=

FH

EF

=

CD

CE

，
即

FH

5-t

=

3

5

，
解得FH=

3

5

（5-t），
S_△EFG=

1

2

EG•FH=

1

2

×

1

2

（5-t）×

3

5

（5-t）=

3

20

（5-t）²=

12

5

，
整理得，（5-t）²=16，
解得t₁=1，t₂=9（不合題意，舍去），
∴GD=

1

2

（1+3）=2，
故點G（4，2），
把點G坐標代入反比例函數(shù)解析式得，

k

4

=2，
解得k=8；

（3）①當AC是平行四邊形的對角線時，
∵點A（8，4），C（t，0），
∴平行四邊形的中心坐標是（

8+t

2

，2），
∵點Q（0，2t），
∴點R的坐標是（8+t，4-2t），
由（2）可知，反比例函數(shù)解析式為y=

8

x

，
∵點R在反比例函數(shù)圖象上，
∴（8+t）（4-2t）=8，
整理得，t²+6t-12=0，
解得t₁=-3-

21

（舍去），t₂=-3+

21

，
∵8+t=8+（-3+

21

）=5+

21

，4-2t=4-2（-3+

21

）=10-2

21

，
∴點R的坐標為（5+

21

，10-2

21

），
②當CQ是平行四邊形的對角線時，
∵C（t，0），Q（0，2t），
∴平行四邊形的中心坐標是（

t

2

，t），
∵點A（8，4），
∴點R的坐標是（t-8，2t-4），
∵點R在反比例函數(shù)y=

8

x

圖象上，
∴（t-8）（2t-4）=8，
整理得，t²-10t+12=0，
解得t₁=5+

13

（舍去），t₂=5-

13

，
∵t-8=5-

13

-8=-3-

13

，2t-4=2（5-

13

）-4=6-2

13

，
∴點R的坐標是（-3-

13

，6-2

13

）；
③當AQ是平行四邊形的對角線時，
∵A（8，4），Q（0，2t），
∴平行四邊形的中心坐標是（4，2+t），
∵點C（t，0），
∴點R的坐標是（8-t，4+2t），
∵點R在反比例函數(shù)y=

8

x

圖象上，
∴（8-t）（4+2t）=8，
整理得，t²-6t-12=0，
解得t₁=3-

21

（舍去），t₂=3+

21

（舍去），
所以，此時點R不存在，
綜上所述，存在點R（5+

21

，10-2

21

）或，（-3-

13

，6-2

13

），使得以A，C，Q，R為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評：本題值反比例函數(shù)綜合題型，主要涉及矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，三角形的面積，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的思想，平行四邊形的對角線互相平分的性質，（3）利用平行四邊形的對角線互相平分求出中心的坐標，再根據(jù)線段的中點公式求出點R的坐標是解題的關鍵，注意要分情況討論．