Question

已知∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，且PO=4，M、N分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是

4

2

．

Answer 1

分析：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得：△COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．

解答：解：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．
連接CO、PO、DO，
∵PC關(guān)于OA對(duì)稱，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD，
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD=OP=4．
∴△COD是等腰直角三角形．
則CD=

2

OC=

2

×4=4

2

．
故答案為：4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出圖形，理解△PMN周長(zhǎng)最小的條件是解題的關(guān)鍵．