Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為15cm，現(xiàn)有兩點M，N分別從點A，點B同時出發(fā)，沿三角形的邊順時針運(yùn)動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s．當(dāng)點N第一次到達(dá)B點時，M，N同時停止運(yùn)動

（1）點M、N運(yùn)動幾秒后，M，N兩點重合？

（2）點M、N運(yùn)動幾秒后，△AMN為等邊三角形？

（3）當(dāng)點M，N在BC邊上運(yùn)動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時M，N運(yùn)動的時間．

Answer 1

【答案】（1）15秒；（2）5秒；（3）20秒

【解析】

（1）由點N運(yùn)動路程＝點M運(yùn)動路程+AB間的路程，列出方程求解，捷克得出結(jié)論；

（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得AN＝AM，可列方程求解，即可得出結(jié)論；

（3）由全等三角形的性質(zhì)可得CM＝BN，可列方程求解，即可得出結(jié)論．

（1）設(shè)運(yùn)動t秒，M、N兩點重合，

根據(jù)題意得：2t﹣t＝15，

∴t＝15，

答：點M，N運(yùn)動15秒后，M、N兩點重合；

（2）如圖1，設(shè)點M、N運(yùn)動x秒后，△AMN為等邊三角形，

∴AN＝AM，

由運(yùn)動知，AN＝15﹣2x，AM＝x，

∴15﹣2x＝x，

解得：x＝5，

∴點M、N運(yùn)動5秒后，△AMN是等邊三角形；

（3）假設(shè)存在，

如圖2，設(shè)M、N運(yùn)動y秒后，得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，

∴AM＝AN，

∴∠AMN＝∠ANM，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠C＝∠B＝60°，

∴△ACN≌△ABM（AAS），

∴CN＝BM，

∴CM＝BN，

由運(yùn)動知，CM＝y﹣15，BN＝15×3﹣2y，

∴y﹣15＝15×3﹣2y，

∴y＝20，

故點M，N在BC邊上運(yùn)動時，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時M，N運(yùn)動的時間為20秒．