Question

已知直線（n是不為零的自然數(shù)）．當n=1時，直線l₁：y=-2x+1與x軸和y軸分別交于點A₁和B₁，設△A₁OB₁（其中O是平面直角坐標系的原點）的面積為S₁；當n=2時，直線與x軸和y軸分別交于點A₂和B₂，設△A₂OB₂的面積為S₂，…，
依此類推，直線l_n與x軸和y軸分別交于點A_n和B_n，設△A_nOB_n的面積為S_n．
（1）求設△A₁OB₁的面積S₁；
（2）求S₁+S₂+S₃+…+S₆的值．

Answer 1

解：（1）∵y₁=-2x+1，
∴A₁（，0），B₁（0，1），
∴S₁==；

（2）∵y₂=-，
∴A₂（，0），B₂（0，）
故S₂=，
∵y₃=-，
∴A₃（，0），B₃（0，），
故S₃=，
…
∵y_n=x+，
∴A_n（），B_n（0，），
故S_n=，
∵=，
∴S₁+S₂+…+S₆=（…）
=[（1-）+（-）+…+（）]=（1-）=．
分析：（1）因為當n=1時，直線l₁：y=-2x+1與x軸和y軸分別交于點A₁和B₁，所以分別令y=0，x=0，即可求出A₁和B₁的坐標，從而求出△A₁OB₁的面積S₁；
（2）要求S₁+S₂+S₃+…+S₆的值，需要找出S_n的規(guī)律，因為n=2時，y₂=-，所以分別令y=0，x=0即可求出A₂（，0），同理可求出A₂，A₃…所以推出當n=n時，y_n=x+，分別令y=0，x=0，即可求出A_n（，0），B_n（0，），所以S_n=，整理即可求出答案．
點評：本題是一道推理性極強的題目，主要考查一次函數(shù)的基本的性質(zhì)及特殊點的坐標，解題的關(guān)鍵是尋找規(guī)律．