Question

已知拋物線y=x²+1（如圖所示）．
（1）填空：拋物線的頂點坐標是（______，______），對稱軸是______；
（2）已知y軸上一點A（0，2），點P在拋物線上，過點P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，點M在直線AP上．在平面內是否存在點N，使四邊形OAMN為菱形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）頂點坐標是（0，1），對稱軸是y軸（或x=O）．

（2）∵△PAB是等邊三角形，
∴∠ABO=90°-60°=30°．
∴AB=20A=4．
∴PB=4．
解法一：把y=4代入y=x²+1，
得  x=±2．
∴P₁（2，4），P₂（-2，4）．  
解法二：∴OB==2
∴P₁（2，4）．    
根據拋物線的對稱性，得P₂（-2，4）． 

（3）∵點A的坐標為（0，2），點P的坐標為（2，4）
∴設線段AP所在直線的解析式為y=kx+b
∴
解得：
∴解析式為：y=x+2
設存在點N使得OAMN是菱形，
∵點M在直線AP上，
∴設點M的坐標為：（m，m+2）
如圖，作MQ⊥y軸于點Q，則MQ=m，AQ=OQ-OA=m+2-2=m
∵四邊形OAMN為菱形，
∴AM=AO=2，
∴在直角三角形AMQ中，AQ²+MQ²=AM²，
即：m²+（m）²=2²
解得：m=±
代入直線AP的解析式求得y=3或1，
當P點在拋物線的右支上時，分為兩種情況：
當N在右圖1位置時，
∵OA=MN，
∴MN=2，
又∵M點坐標為（，3），
∴N點坐標為（，1），即N₁坐標為（，1）．
當N在右圖2位置時，
∵MN=OA=2，M點坐標為（-，1），
∴N點坐標為（-，-1），即N₂坐標為（-，-1）．
當P點在拋物線的左支上時，分為兩種情況：
第一種是當點M在線段PA上時（PA內部）我們求出N點坐標為（-，1）；
第二種是當M點在PA的延長線上時（在第一象限）我們求出N點坐標為（，-1）
∴存在N₁（，1），N₂（-，-1）N₃（-，1），N₄（，-1）使得四邊形OAMN是菱形．
分析：（1）根據函數的解析式直接寫出其頂點坐標和對稱軸即可；
（2）根據等邊三角形的性質求得PB=4，將PB=4代入函數的解析式后求得x的值即可作為P點的橫坐標，代入解析式即可求得P點的縱坐標；
（3）首先求得直線AP的解析式，然后設出點M的坐標，利用勾股定理表示出有關AP的長即可得到有關M點的橫坐標的方程，求得M的橫坐標后即可求得其縱坐標，
點評：本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是仔細讀題，并能正確的將點的坐標轉化為線段的長，本題中所涉及的存在型問題更是近幾年中考的熱點問題．