Question

如圖，已知直角三角形ABC，
（Ⅰ）試作出經(jīng)過點A，圓心O在斜邊AB上，且與邊BC相切于點E的⊙O及切點E和圓心O（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中所作的⊙O與邊AB交于異于點A的另一點D．
求證：
（1）

DE

AE

=

DE

BE

；
（2）EC•BE=AC•BD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）作∠BAC的角平分線AE交BC與E，過E點作EO垂直于BC，交AB與O，O即為所求圓心；
（Ⅱ）（1）要證

DE

AE

=

BD

BE

，由組成線段可知只需證明△BDE∽△BEA即可，而∠B為共用角，∠1為弦切角∠4所夾的弧所對的圓周角所以相等，因此有△BDE∽△BEA，即

DE

AE

=

BD

BE

；
（2）要證EC•BE=AC•BD即證

EC

AC

=

BD

BE

，由（1）知

DE

AE

=

BD

BE

，所以需證

EC

AC

=

DE

AE

，即Rt△ACE∽Rt△AED，而在這兩個三角形中，都有一個直角，且易證∠1=∠3=∠2，所以可證相似，從而得出所求結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：如圖所示；

（Ⅱ）證明：連接DE，則∠AED=90°，
（1）∵∠4=∠2
∠B=∠B
∴△BDE∽△BEA
∴

DE

AE

=

BD

BE

；（5分）

（2）∵BC切⊙O于E，
∴OE⊥BC．
又∵AC⊥B，
∴OE∥AC．
∴∠1=∠3．
又易知∠2=∠3，
∴∠1=∠2．
又∵∠C=∠AED=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△AED．
∴

EC

AC

=

DE

AE

．（7分）
又由（Ⅰ）知，

DE

AE

=

BD

BE

，

EC

AC

=

BD

BE

，
∴EC•BE=AC•BD．（8分）

點評：此題主要考查了三角形相似和圓之間的關(guān)系，難易程度適中．