如圖,矩形ABCD中,AB=12,BC=4
3
,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn).一動點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運(yùn)動,到達(dá)A點(diǎn)后,立即以原速度沿AO返回;另一動點(diǎn)F從O點(diǎn)出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿射線OB勻速運(yùn)動,點(diǎn)E、F同時出發(fā),當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時停止運(yùn)動,在點(diǎn)E、F的運(yùn)動過程中,以EF為邊作等邊△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射線AB的同側(cè).設(shè)運(yùn)動的時間為t秒(t≥0).
(1)當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的頂點(diǎn)G恰好落在CD上時,求運(yùn)動時間t的值;
(2)在整個運(yùn)動過程中,設(shè)等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍;
(3)設(shè)EG與矩形ABCD的對角線AC的交點(diǎn)為H,是否存在這樣的t,使△AOH是等腰三角形?若存在,求出相應(yīng)的t的值;若不存在,請說明理由.
考點(diǎn):相似形綜合題
專題:
分析:(1)當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的頂點(diǎn)G恰好落在CD上時,OG=BC,根據(jù)直角三角形性質(zhì)可得EO=4,即可求得t值;
(2)按照等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的圖形特點(diǎn),分為0≤t<4,4≤t<6,6≤t<10,10≤t<14,14≤t<18五種情況,分別寫出函數(shù)關(guān)系式;
(3)存在.當(dāng)△AOH是等腰三角形時,分為AH=AO=3,HA=HO,OH=OA三種情況,分別畫出圖形,根據(jù)特殊三角形的性質(zhì),列方程求t的值.
解答:解:(1)當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的頂點(diǎn)G恰好落在CD上時,
∵點(diǎn)O是EF的中點(diǎn)
∴OG=BC=4
3
,
∵在△EOG中,∠EGO=30°,
EO
GO
=
1
3
,
∴EO=4
∴t=4s時,等邊△EFG的頂點(diǎn)G恰好落在CD上.

(2)①當(dāng)點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部及在邊長CD上這段時間,即t在0-4s,重疊部分的面積為△EFG的面積,
設(shè)△EFG的高為h,
根據(jù)已知可得,EF=2t,h=
3
t,
故S△GEF=
1
2
•EF•h=
1
2
2t•(
3
t)=
3
t2,(0≤t<4),

②如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在矩形ABCD外部,點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)A這段時間,即t在4-6s(AO=6),
設(shè)EG、FG分別與CD交于點(diǎn)M,N,△GMN的高為h1,
則h1=h-BC=
3
t-4
3
,
易得△GMN∽△GEF,
S△GMN
S△GEF
=
h12
h2

∴S△GMN=
3
t2
(
3
t-4
3
)2
(
3
t)2
=
3
(t-4)2,
∴S四邊形EMNF=S△GEF-S△GMN=
3
t2-
3
(t-4)2=8
3
t-16
3
,(4≤t<6),
③當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)A點(diǎn)時,F(xiàn)正好在B點(diǎn),此時等邊△GEF圖形不再變化,保持向右平移,故重疊面積仍為S五邊形EMNPB,直到點(diǎn)N與C點(diǎn)重合,如圖2.
設(shè)FG與BC交于點(diǎn)P,EF中點(diǎn)為O′,△GMN中的高為h2,連接O′G,
∵在等邊△EFG中,EF=12,
∴O′F=6,GO′=6
3
,
∵在Rt△BPF中,∠BPF=∠O′GF=30°,
BF
PB
=
1
3
,
∵BF=AE=t-6,
∴PB=
3
(t-6),
∵h(yuǎn)2=GO′-BC=6
3
-4
3
=2
3
,
∴MN=4,
∴S=S梯形EMNF-S△BPF=
1
2
•(4+12)•4
3
-
1
2
•(t-6)•
3
(t-6)=-
3
2
t2+6
3
t+14
3

當(dāng)點(diǎn)N與C點(diǎn)重合時,PB=BC,
即:4
3
=
3
(t-6),
∴t=10s,
故6≤t<10,重疊面積為=-
3
2
t2+6
3
t+14
3


④點(diǎn)E繼續(xù)移動,點(diǎn)M與點(diǎn)C重合前這段時間,重疊面積為S四邊形EBCM,如圖3,
當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時,EB=4,AE=8,
運(yùn)動總時間為8+6=14s
即10≤t<14,
由圖可知,EB=t-10,
易得等邊△GCM的高為2
3
,
即CM=4,
故S四邊形EBCM=
1
2
•(4+t-10)•4
3
=2
3
t-12
3
(10<t≤14),

⑤點(diǎn)E繼續(xù)移動,重疊面積為S△EBQ,直到點(diǎn)E與點(diǎn)B重合,設(shè)EG與BC相交于點(diǎn)Q,
EB=t-14,易得EQ=
3
(t-14),
S△EBC=
1
2
•(t-14)•
3
(t-14)=
3
2
(t-14)2,(14≤t<18),

綜上所述,S=
3
t2(0≤t<6)
8
3
t-16
3
(4≤t<10)
-
3
2
t2+6
3
t+14
3
(6≤t<10)
2
3
t-12
3
(10≤t<14)
3
2
(t-14)2(14≤t<18)


(3)存在.理由如下:
在Rt△ABC中,tan∠CAB=
BC
AB
=
3
3
,
∴∠CAB=30°,
又∵∠HEO=60°,
∴∠HAE=∠AHE=30°,
∴AE=HE=6-t或t-6,
①當(dāng)AH=AO=6時,(如圖4),過點(diǎn)E作EI⊥AH于I,
則AI=
1
2
AH=3,
在Rt△AIE中,cos∠IAE=
AI
AE
,
即cos30°=
3
AE
,
∴AE=2
3
,即6-t=2
3
或t-6=2
3
,
∴t=6-2
3
或6+2
3
,
②當(dāng)HA=HO時,(如圖5)則∠HOA=∠HAO=30°,
又∵∠HEO=60°,
∴∠EHO=90°,EO=2HE=2AE,
又∵AE+EO=6,
∴AE+2AE=6,AE=2,
即6-t=2或t-6=2,
∴t=4s或t=8s;

③當(dāng)OH=OA時,則∠OHA=∠OAH=30°,
∴∠HOB=60°=∠HEB,
∴點(diǎn)E和點(diǎn)O重合,
∴AE=AO=6,
∴t=6+6=12s;
綜上所述,存在5個這樣的t值,使△AOH是等腰三角形,即t=6-2
3
或6+2
3
或t=4或t=8或t=12.
點(diǎn)評:本題考查了特殊三角形、矩形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形的有關(guān)知識.關(guān)鍵是根據(jù)特殊三角形的性質(zhì),分類討論.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),當(dāng)x=1時圖象的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9,且該圖象與x軸的兩個交點(diǎn)之間的距離為6,則此二次函數(shù)的解析式為
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為20°,則此三角形的頂角度數(shù)為
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:梯形ABCD中,AD∥BC,∠DBC=45°,∠ACB=30°,DE⊥BC,DE=
2

(1)求BD、AC的長;
(2)求S梯形ABCD=?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若a>0,b<0,c<0,則方程ax2+bx+c=0的根的情況為( �。�
A、有兩個同號的實(shí)數(shù)根
B、有兩個異號的實(shí)數(shù)根,且負(fù)根的絕對值大
C、有兩個異號的實(shí)數(shù)根,且正根的絕對值大
D、無實(shí)數(shù)根

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖正方形ABCD中,AB=1,AE平分∠BAC,EF⊥AC,F(xiàn)為垂足,則BE=
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

把150千萬噸,用科學(xué)記數(shù)法表示為
 
噸.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a>2,b<2,且a+b=k+1,ab=6,則k的最小整數(shù)值是
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(-2,0)、B(0,-4),反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)C,AD邊交y軸于點(diǎn)E,若四邊形BCDE的面積等于△ABE面積的5倍,則k的值等于
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欓崝銈囩磽瀹ュ拑韬€殿喖顭烽弫鎰緞婵犲嫷鍚呴梻浣瑰缁诲倿骞夊☉銏犵缂備焦岣块崢閬嶆⒑闂堟稓澧曢柟鍐查叄椤㈡棃顢橀姀锛勫幐闁诲繒鍋犻褔鍩€椤掍胶绠撻柣锝囧厴椤㈡洟鏁冮埀顒€鏁梻浣瑰濡焦鎱ㄩ妶澶嬪剨閹肩补妾ч弨浠嬫煟閹邦剚鈻曢柛銈囧枎閳规垿顢欓悙顒佹瘓闂佺娅曠换鍐Χ閿濆绀冮柕濞у啫绠i梻鍌欒兌閹虫捇顢氶銏犵;婵炴垶姘ㄦ稉宥夋煟濡偐甯涢柍閿嬪灩缁辨帞鈧綆浜滈惃锟犳煛閳ь剛绱掑Ο闀愮盎闂侀潧枪閸庢煡藟閵忊槅娈介柣鎰皺婢э箑鈹戦埄鍐憙妞わ富鍣i弻娑氣偓锝庡亝瀹曞本淇婇銏犳殭闁宠棄顦埢搴ょ疀閺冣偓閻eジ姊虹拠鍙夊攭妞ゎ偄顦叅闁哄诞灞芥闂佸壊鍋呭ú鏍不閻愮儤鐓忓┑鐐茬仢閸斿瓨绻涢幘鎰佺吋闁诡喖缍婂畷鍫曨敂閸曨厼顦╁┑鐘灱椤煤閻斿娼栫紓浣股戞刊鎾煣韫囨洘鍤€缂佹せ鍓濈换娑㈠箻鐎靛壊鏆″銈冨妼閿曘倝鎮鹃悜钘夌骇閹煎瓨鎸婚~宥呪攽椤旂煫顏囥亹婢跺瞼绠斿璺号堥弨浠嬫煟閹邦厽缍戦柣蹇ョ畵閹筹綁濡堕崱鏇犵畾闂佸湱绮敮鐐存櫠濞戞氨纾肩紓浣贯缚濞插鈧娲栧畷顒冪亽闂佸憡绻傜€氬嘲岣块弮鈧穱濠囨倷椤忓嫧鍋撻弴鐘冲床闁圭儤顨呯粣妤呮煛瀹擃喖鏈紞搴g磽閸屾瑧鍔嶉拑鍗炩攽椤栨稒灏﹂柡灞诲€濋獮渚€骞掗幋婵喰戦梻渚€娼уΛ妤呮晝椤忓嫷娼栨繛宸簼椤ュ牓鏌嶉崫鍕殶閼叉牜绱撻崒娆掑厡濠殿喚鏁婚獮鎴﹀炊椤掍礁浠掑銈嗘濞夋洟鎮块埀顒€鈹戦悙鏉戠仸闁荤噦绠戦埢宥夊閵堝棌鎷洪柣鐘充航閸斿苯鈻嶉幇鐗堢厵闁告垯鍊栫€氾拷 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欓崝銈囩磽瀹ュ拑韬€殿喖顭烽幃銏ゅ礂鐏忔牗瀚介梺璇查叄濞佳勭珶婵犲伣锝夘敊閸撗咃紲闂佺粯鍔﹂崜娆撳礉閵堝洨纾界€广儱鎷戦煬顒傗偓娈垮枛椤兘骞冮姀銈呯閻忓繑鐗楃€氫粙姊虹拠鏌ュ弰婵炰匠鍕彾濠电姴浼i敐澶樻晩闁告挆鍜冪床闂備胶绮崝锕傚礈濞嗘挸绀夐柕鍫濇川绾剧晫鈧箍鍎遍幏鎴︾叕椤掑倵鍋撳▓鍨灈妞ゎ厾鍏橀獮鍐閵堝懐顦ч柣蹇撶箲閻楁鈧矮绮欏铏规嫚閺屻儱寮板┑鐐板尃閸曨厾褰炬繝鐢靛Т娴硷綁鏁愭径妯绘櫓闂佸憡鎸嗛崪鍐簥闂傚倷鑳剁划顖炲礉閿曞倸绀堟繛鍡樺灩閻棝鏌涢幇銊︽澓濞存粍绮撻弻锟犲炊瑜庨ˉ婊勭箾鐏炲倸鈧繈骞冮垾鎰佹建闁逞屽墴瀵鎮㈤崨濠勭Ф婵°倧绲介崯顖烆敁瀹ュ鈷戠紒瀣儥閸庢劙鏌涢弮鈧悷鈺侇嚕鐠囨祴妲堟俊顖炴敱閻庡妫呴銏$カ缂佽尙鍋撻弲銉╂⒒閸屾瑦绁版い鏇熺墵瀹曟澘螖閸涱喖浠悷婊冪箰鍗遍柟鐗堟緲缁犲鎮楀☉娅亪顢撻幘缁樷拺闁告稑锕︾粻鎾绘倵濮樺崬鍘撮柛鈹惧亾濡炪倖宸婚崑鎾绘煟椤撶偛鈧灝顕g拠娴嬫闁靛繒濮堥埡鍛厪濠㈣鍨伴崯浼村储娴犲鐓熼幖娣焺閸熷繘鏌涢悩宕囧⒌闁炽儻绠撻弻銊р偓锝傛櫇缁犳岸姊鸿ぐ鎺擄紵缂佲偓娓氣偓閹€斥槈閵忥紕鍘遍柣蹇曞仜婢т粙鎮¢婊呯<闁靛ǹ鍊楅惌娆愭叏婵犲嫮甯涢柟宄版嚇瀹曘劑妫冨☉姘毙ㄩ悗娈垮枤閺佸銆佸Δ鍛<婵犲﹤鎳愰崢顖炴⒒娴d警鏀伴柟娲讳簽閳ь剟娼ч惌鍌氼嚕椤愶箑纾奸柣鎰嚟閸欏棝姊虹紒妯荤闁稿﹤婀遍埀顒佺啲閹凤拷