Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長(zhǎng)（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝－2．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）連接AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上試說(shuō)明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）所求拋物線的表達(dá)式為:  （2）

（3）為等腰三角形，理由點(diǎn)E和點(diǎn)B關(guān)于直線OC軸對(duì)稱，所以CE=CB

【解析】

試題分析：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，

由題意得:A（-6，0），C（0，8），B（2，0）

∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線y=ax²+bx+c的圖象上，∴c=8，

將A（-6，0）、B（2，0）代入表達(dá)式，得，

解得       

∴所求拋物線的表達(dá)式為:    

(2)由 A（-6，0），C（0，8），B（2，0）得：AB=8，OC=8，OA=6，

∵AE="m," ∴BE="8-m."   

在Rt △AOC中，由勾股定理得：

  

設(shè)中BE邊上的高為h.

∵EF//AC

∽

,即，  

(3) 由（2）知，S存在最大值，最大值為8平方單位， 

此時(shí)，m=4，所以點(diǎn)E坐標(biāo)為（-2,0）， 

點(diǎn)E和點(diǎn)B關(guān)于直線OC軸對(duì)稱；為等腰三角形。

考點(diǎn)：拋物線，等腰三角形，相似三角形

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線，等腰三角形，要求考生會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握拋物線的性質(zhì)，熟悉等腰三角形的判定方法，會(huì)判定兩個(gè)三角形相似