Question

已知拋物線的頂點(diǎn)是C（0，a）（a＞0，a為常數(shù)），并經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2a，2a），點(diǎn)D（0，2a）為一定點(diǎn)．
（1）求含有常數(shù)a的拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)P作PH丄x軸．垂足是H，求證：PD=PH；
（3）設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與拋物線在笫一象限相交于A、B兩點(diǎn)，若DA=2DB．且S_△ABD=4

2

．求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的圖象假設(shè)出解析式為y=kx²+a，將經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2a，2a），代入求出即可；
（2）根據(jù)勾股定理得出PD²=DG²+PG²，進(jìn)而求出PD=PH；
（3）利用（2）中結(jié)論得出BE=DB，AF=DA，即可得出B是OA的中點(diǎn)，進(jìn)而得出S_△OBD=S_△ABD=4

2

，即可得出a的值．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=kx²+a，
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2a，2a），
4a²k+a=2a，
∴k=

1

4a

，
則拋物線的解析式為：y=

1

4a

x²+a；

（2）連接PD，設(shè)拋物線上一點(diǎn)P（x，y），過(guò)P作PH⊥x軸，PG⊥y軸，
在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD²=DG²+PG²=（y-2a）²+x²=y²-4ay+4a²+x²，
∵y=

1

4a

x²+a，
∴x²=4a×（y-a）=4ay-4a²，
∴PD²=y²-4ay+4a²+4ay-4a²=y²=PH²，
∴PD=PH，

（3）過(guò)B作BE⊥x，AF⊥x，
由（2）的結(jié)論：BE=DB，AF=DA，
∵DA=2DB，
∴AF=2BE，
∴AO=2OB，
∴B是OA的中點(diǎn)，
∵C是OD的中點(diǎn)，
連接BC，∴BC=

AD

2

=

AF

2

=BE=DB，
過(guò)B作BR⊥y，
∵BR⊥CD，
∴CR=DR，OR=a+

a

2

=

3a

2

，
∴

3a

2

=

1

4a

x²+a，
∴x²=2a²，
∵x＞0，
∴x=

2

a，
∴B（

2

a，

3a

2

），AO=2OB，
∴S_△OBD=S_△ABD=4

2

，
∴

1

2

×2a×

2

a=4

2

，
∴a2=4，
∵a＞0，
∴a=2，

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．