Question

如圖所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直線為x軸，過D且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求∠DAB的度數(shù)及A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過A、D、C三點(diǎn)的拋物線的解析式及其對稱軸L；
（3）若P是拋物線的對稱軸L上的點(diǎn)，那么使△PDB為等腰三角形的點(diǎn)P有幾個(gè)？（不必求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需說明理由）

Answer 1

分析：（1）已知AD=DC=CB，根據(jù)等邊對等角，以及平行線的性質(zhì)．可以得到，∠CDB=∠CBD=∠DBA．若設(shè)，∠CDB=∠CBD=∠DBA=x度，則∠ABC=2x度，∠C=90+x度．根據(jù)平行線的性質(zhì)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，就可以求出x的值．在直角△ABD和直角△AOD中，根據(jù)三角函數(shù)，就可以求出OA、OD的長度，就可以得到A，D，C的坐標(biāo)．
（2）已知A，D，C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式以及對稱軸．
（3）△PDB為等腰三角形，應(yīng)分BD是底邊，和BD是腰兩種情況進(jìn)行討論．而BD是腰又要分D是頂角的頂點(diǎn)和B是頂角的頂點(diǎn)兩種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）∵DC∥AB，AD=DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠DBA （5分）
∠DAB=∠CBA，
∴∠DAB=2∠DBA，（1分
∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠DAB=60°（5分）
∠DBA=30°，
∵AB=4，
∴DC=AD=2，（2分）
Rt△AOD，OA=1，OD=

3

，AD=2．（5分）
∴A（-1，0），D（0，

3

），C（2，

3

）．（4分）

（2）根據(jù)拋物線和等腰梯形的對稱性知，滿足條件的拋物線必過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
故可設(shè)所求為y=a（x+1）（x-3）（6分）
將點(diǎn)D（0，

3

）的坐標(biāo)代入上式得，a=-

3

3

．
所求拋物線的解析式為y=-

3

3

（x+1）（x-3），（7分）
其對稱軸L為直線x=1．（8分）

（3）△PDB為等腰三角形，有以下三種情況：
①因直線L與DB不平行，DB的垂直平分線與L僅有一個(gè)交點(diǎn)P₁，P₁D=P₁B，
△P₁DB為等腰三角形；（9分）
②因?yàn)橐訢為圓心，DB為半徑的圓與直線L有兩個(gè)交點(diǎn)P₂、P₃，DB=DP₂，DB=DP₃，△P₂DB，△P₃DB為等腰三角形；
③與②同理，L上也有兩個(gè)點(diǎn)P₄、P₅，使得BD=BP₄，BD=BP₅．（10分）
由于以上各點(diǎn)互不重合，所以在直線L上，使△PDB為等腰三角形的點(diǎn)P有5個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的有關(guān)計(jì)算，以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確地進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．