Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（2，0）．P為拋物線在x軸上方的一點(diǎn)（不落在y軸上），過點(diǎn)P作PD∥x軸交y軸于點(diǎn)D，PC∥y軸交x軸于點(diǎn)C．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，矩形PDOC的周長(zhǎng)為L(zhǎng)．
（1）求b和c的值．
（2）求L與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)矩形PDOC為正方形時(shí)，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A（-1，0）和B（2，0）代入y=-x²+bx+c建立方程組求出b和c的值即可；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)P在y=-x²+x+2圖象上，所以可以求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，由矩形的性質(zhì)進(jìn)而求出點(diǎn)D和點(diǎn)C的坐標(biāo)，又因?yàn)辄c(diǎn)P的位置不確定，所以要分兩種情況分別討論L和m的函數(shù)關(guān)系①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)②當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)；
（3）當(dāng)矩形PDOC為正方形時(shí)，OC=OD，則當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，m=-m²+m+2；當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，-m=-m²+m+2，解一元二次方求出符合題意的m值即可．

解答：解：（1）將A（-1，0）和B（2，0）代入y=-x²+bx+c得：

-1-b+c=0 -4+2b+c=0

，
∴

b=1 c=2

，
∴y=-x²+x+2．
∴b的值為1，c的值為2；                                 
（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)P在y=-x²+x+2圖象上，
∴P（m，-m²+m+2）．
∵PD∥x軸，PC∥y軸，
∴四邊形PDOC為矩形，
∴D（0，-m²+m+2），C（m，0），
①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，
∴PD=OC=m，PC=DO=-m²+m+2，
∴L=2m+2（-m²+m+2）=-2m²+4m+4，
∴L=-2m²+4m+4．
②當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，
∴PD=OC=-m，PC=DO=-m²+m+2，
∴L=-2m+2（-m²+m+2）=-2m²+4．
∴L=-2m²+4
∴L=-2m²+4m+4或L=-2m²+4．                        
（3）當(dāng)矩形PDOC為正方形時(shí)，OC=OD，
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，m=-m²+m+2，
∴m1=

2

，m2=-

2

（舍），
當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，-m=-m²+m+2，
∴m1=1+

3

（舍），m2=1-

3

．
∴當(dāng)矩形PDOC為正方形時(shí)，m的值為

2

或1-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的確定方法、矩形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)、一元二次方程的運(yùn)用，題目的難點(diǎn)體現(xiàn)在（2）和（3）兩問中需要分類討論的數(shù)學(xué)思想，防止遺漏問題的解．