Question

已知拋物線y=-

1

6

x2+bx+c的頂點為P，與x軸的正半軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點，與y軸交于點C，PA是△ABC的外接圓的切線．設M（0，-

3

2

），若AM∥BC，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：利用公式法求出拋物線的頂點坐標，再令x=0，求出此時對應的y值，即C的縱坐標，設△ABC的外接圓的圓心為D，則點P和點D都在線段AB的垂直平分線上，設點D的坐標為（3b，m）．再利用根與系數(shù)的關系求出AE的值，利用射影定理和切線的性質即可求出m的值，進而求出c的值，最后利用相似三角形的性質求出b的值，從而求出拋物線的解析式．

解答：解：∵拋物線y=-

1

6

x2+bx+c中，
a′=-

1

6

，b′=b，c′=c，
∴點P的橫坐標為：-

b′

2a′

=3b，縱坐標為：

4a′c′-b′ 2

4a′

=

3

2

b²+c，
∴點P的坐標為(3b，

3

2

b2+c)，
令x=0，則y=c，
∴點C（0，c），
設△ABC的外接圓的圓心為D，則點P和點D都在線段AB的垂直平分線上，設點D的坐標為（3b，m）．
顯然，x₁，x₂是一元二次方程-

1

6

x2+bx+c=0的兩根，
∴x1=3b-

9b2+6c

，x2=3b+

9b2+6c

，
又∵AB的中點E的坐標為（3b，0），
∴AE=

9b2+6c

．
∵PA為⊙D的切線，
∴PA⊥AD，
又∵AE⊥PD，
∴由射影定理可得 AE²=PE•DE，即(

9b2+6c

)2=(

3

2

b2+c)•|m|，又易知m＜0，
∴可得m=-6，
又∵DA=DC得 DA²=DC²，即(

9b2+6c

)2+m2=(3b-0)2+(m-c)2，
把m=-6代入后可解得c=-6（另一解c=0舍去）．
又∵AM∥BC，
∴

OA

OB

=

OM

OC

，即

3b- 9b2+6c

3b+ 9b2+6c

=

|- 3 2 |

|-6|

．…
把c=-6代入，解得b=

5

2

，（另一解b=-

5

2

舍去）．
∴拋物線的解析式為y=-

1

6

x2+

5

2

x-6．

點評：本題綜合性的考查了二次函數(shù)的各種性質、圓的切線的性質、平行線的性質、射影定理的運用，根與系數(shù)的關系以及相似三角形的判定和性質，題目的難度非常大．