Question

已知m，n是兩個連續(xù)自然數(shù)（m＜n），且q=mn．設(shè)p=

q+n

+

q-m

，證明：p總是奇數(shù)．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意推出n=m+1，即可求出q關(guān)于m的表達式，然后把q=m²+m，n=m+1，代入到p的表達式，推出p=

(m+1)2

+

(m)2

，通過m為自然數(shù)，即可求出m≥0和m+1＞0，最后根據(jù)根式的性質(zhì)對根式進一步化簡，即可推出p=2m+1，由此可知p總是奇數(shù)．

解答：證明：∵m，n是兩個連續(xù)自然數(shù)，且m＜n，
∴n=m+1，q=mn=m（m+1）=m²+m，
∴p=

q+n

+

q-m

=

m2+m+m+1

+

m2+m-m

=

(m+1)2

+

m2

，
∵m是自然數(shù)，
∴m≥0，m+1＞0，
∴p=

(m+1)2

+

m2

=m+1+m=2m+1，
∴p總是奇數(shù)．

點評：本題主要考查二次根式的性質(zhì)，二次根式的化簡，奇數(shù)的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵在于通過題意推出n和q關(guān)于m的表達式，通過等量代換推出p=

(m+1)2

+

m2

，根據(jù)m和m+1的取值范圍正確的對二次根式進行化簡．