Question

已知：如圖，⊙O的半徑OC垂直弦AB于點H，連接BC，過點A作弦AE∥BC，過點C作CD∥BA交EA延長線于點D，延長CO交AE于點F．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若BC=5，AB=8，求OF的長．

Answer 1

（1）證明：∵OC⊥AB，CD∥BA，
∴∠DCF=∠AHF=90°，
∴CD為⊙O的切線．

（2）∵OC⊥AB，AB=8，
∴AH=BH=

AB

2

=4，
在Rt△BCH中，∵BH=4，BC=5，
由勾股定理得：CH=3，
∵AE∥BC，
∴∠B=∠HAF，
∵∠BHC=∠AHF，BH=AH，
∴△HAF≌△HBC，
∴FH=CH=3，CF=6，
連接BO，設(shè)BO=x，則OC=x，OH=x-3．
在Rt△BHO中，由勾股定理得：4²+（x-3）²=x²，
解得x=

25

6

，
∴OF=CF-OC=

11

6

，
答：OF的長是

11

6

．