如圖所示，AB為⊙O的直徑，D為
BC
中點，連接BC交AD于E，DG⊥AB于G．
（1）求證：BD2=AD•DE；
（2）如果tanA=
3
4
，DG=8，求DE的長．
分析：（1）連接BD，先由D為
BC
中點，根據(jù)圓心角、弧、弦的關系及圓周角定理得出
BD
=
CD
，∠DAB=∠DBE，又∠ADB公共，根據(jù)兩角對應相等的兩三角形相似得出△BDE∽△ADB，然后由相似三角形對應邊成比例得出BD：AD=DE：BD，即為BD2=AD•DE；
（2）先在Rt△ADG中，由tanA=
3
4
，DG=8，求出AD=
40
3
，然后解Rt△ADB，求出BD=10，再根據(jù)（1）的結論BD2=AD•DE，即可求出DE的長．
解答：（1）證明：連接BD．
∵D為
BC
中點，
∴
BD
=
CD
，
∴∠DAB=∠DBE，
又∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴BD：AD=DE：BD，
∴BD2=AD•DE；

（2）解：∵DG⊥AB于G，
∴∠AGD=90°．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADG中，∵tanA=
3
4
，∴
DG
AG
=
3
4
．
設DG=3k，則AG=4k，AD=5k，∴
DG
AD
=
3
5
．
又∵DG=8，∴AD=
40
3
．
在Rt△ADB中，tanA=
BD
AD
=
3
4
，∴BD=
3
4
AD=10．
∵BD2=AD•DE，
∴DE=
BD2
AD
=
102
40
3
=
15
2
．
點評：本題考查了圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理，解直角三角形，綜合性較強，有一定難度．
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AB
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．

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．

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AE
=2
DE
（
AE
，
DE
為劣弧）
其中正確結論有（　�。�

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5cm
5cm
．

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