Question

9．我們引入如下概念，
定義；到三角形的兩條邊的距離相等的點，叫做此三角形的準內(nèi)心，舉例：如圖1，PE⊥BC，若PE=PD則P為△ABC的準內(nèi)心
（1）填空；根據(jù)準內(nèi)心的概念，圖1中的點P在∠BAC的平分線上上．
（2）應用；如圖2，△ABC中，AC=BC=13，AB=10，準內(nèi)心P在AB上，求P到AC邊的距離PD的長．
（3）探究；已知△ABC為直角三角形，AC=BC=6，∠C=90°，準內(nèi)心P在△ABC的邊上，試探究PC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)準內(nèi)心的概念，即可判斷．
（2）根據(jù)三線合一先證明PC是高是中線，再根據(jù)$\frac{1}{2}$•AC•PD=$\frac{1}{2}$•AP•PC，即可解決問題．
（3）分三種情形①點P在AB邊上，②點P在AC邊上，③點P在BC邊上，分別討論即可．

解答 解：（1）如圖1中，

∵PE⊥BC，PD⊥AC，PE=PD，
∴點P在∠ACB的平分線上．
故答案為角平分線．

（2）如圖2中，

∵點P是△ABC的準內(nèi)心，
∴∠ACP=∠BCP，
∵CA=CB=13，
∴PC⊥AB．AP=PB=5，
∴PC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{P}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12．
∵$\frac{1}{2}$•AC•PD=$\frac{1}{2}$•AP•PC，
∴PD=$\frac{PA•CP}{AC}$=$\frac{60}{13}$，

（3）如圖3中，

當點P在AB邊上時，∵CA=CB=6，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{C{A}^{2}+C{B}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∵點P是△ABC的準內(nèi)心，
∴∠PCB=∠PCA，
∴PA=PB，
∴PC=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$．
如圖4中，當點P在AC邊上時，作PE⊥AB于E，則AE=PE，設(shè)AE=PE=x．

∵點P是△ABC的準內(nèi)心，
∴∠PBA=∠PBC，
∵PE⊥AB，PC⊥BC，
∴PE=PC=x，
∵AP+PC=6，
∴$\sqrt{2}$x+x=6，
x=6$\sqrt{2}$-6，
∴PC=6$\sqrt{2}$-6．
如圖5中，

當點P在BC邊上時，同理可得PC=6$\sqrt{2}$-6．

點評 本題考查角平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形的準內(nèi)心的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會利用面積法求高，學會分類討論，屬于中考�？碱}型．