【題目】問題探究:
(1)如圖①,點M、N分別為四邊形ABCD邊AD、BC的中點,則四邊形BNDM的面積與四邊形ABCD的面積關(guān)系是

(2)如圖②,在四邊形ABCD中,點M、N分別為AD、BC的中點,MB交AN于點P,MC交DN于點Q,若S△四邊形MPNQ=10,則SABP+SDCQ的值為多少?
(3)問題解決
在矩形ABCD中,AD=2,DC=4,點M、N為AB上兩點,且滿足BN=2AM=2MN,連接MC、MD.若點P為CD上任意一點,連接AP、NP,使得AP與DM交于點E,NP與MC交于點F,則四邊形MEPF的面積是否存最大值?若存在,請求出最大面積;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)S四邊形BNDM= S四邊形ABCD
(2)解:連接BD.

∵M(jìn)、N是AD、BC中點,

∴SABM=SBDM,SBDN=SCDN,(等底同高的兩個三角形面積相等)

∴S四邊形BMDN= S四邊形ABCD

同理,S四邊形ANCM= S四邊形ABCD

∴S四邊形ANCM+S四邊形BMDN=S四邊形ABCD,

∴S四邊形MPNQ=SABP+SCDQ=10;


(3)連接PM,

設(shè)DP=x,則PC=4﹣x,

∵AM∥DP,

=

= ,即 = ,

= 且SAPM= AMAD=1,

∴SMPE=

同理可得,SMPF= ,

∴S= + =2﹣ =2﹣ =2+ ≤2﹣ =

當(dāng)x=2時,上式等號成立,

∴S的最大值為:


【解析】解:(1)S四邊形BNDM= S四邊形ABCD,

理由:連接BD,

∵點M、N分別為四邊形ABCD邊AD、BC的中點,

∴SBDM= SABD,SBDN= SBCD,

∴S四邊形BNDM=SBDM+SBDN= (SABD+SBCD)= S四邊形ABCD,
(2)連接BD.

∵M(jìn)、N是AD、BC中點,

∴SABM=SBDM,SBDN=SCDN,(等底同高的兩個三角形面積相等)

∴S四邊形BMDN= S四邊形ABCD

同理,S四邊形ANCM= S四邊形ABCD

∴S四邊形ANCM+S四邊形BMDN=S四邊形ABCD

∴S四邊形MPNQ=SABP+SCDQ=10;
(3)連接PM,

設(shè)DP=x,則PC=4﹣x,

∵AM∥DP,

= ,

= ,即 =

= 且SAPM= AMAD=1,

∴SMPE= ,

同理可得,SMPF= ,

∴S= + =2﹣ =2﹣ =2+ ≤2﹣ =

當(dāng)x=2時,上式等號成立,

∴S的最大值為:

所以答案是:(1)S四邊形BNDM= S四邊形ABCD;(2)10;(3)存在,最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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同步練習(xí)冊答案
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