Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點M關(guān)于x軸的對稱點是M′．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線AM′與此拋物線的另一個交點為C，求△CAB的面積；

（3）是否存在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 解：（1）將A、B點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，

解得，

拋物線的解析式y(tǒng)=x²﹣2x﹣3；

（2）將拋物線的解析式化為頂點式，得

y=（x﹣1）²﹣4，

M點的坐標(biāo)為（1，﹣4），

M′點的坐標(biāo)為（1，4），

設(shè)AM′的解析式為y=kx+b，

將A、M′點的坐標(biāo)代入，得

，

解得，

AM′的解析式為y=2x+2，

聯(lián)立AM′與拋物線，得

，

解得，

C點坐標(biāo)為（5，12）．

S_△ABC=×4×12=24；

（3）存在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形，

由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得

P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），

①當(dāng)頂點P（1，﹣2）時，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）²﹣2，

將A點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

a（﹣1﹣1）²﹣2=0，

解得a=，

拋物線的解析式為y=（x﹣1）²﹣2，

②當(dāng)P（1，2）時，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）²+2，將

A點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

a（﹣1﹣1）²+2=0，

解得a=﹣，

拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）²+2，

綜上所述：y=（x﹣1）²﹣2或y=﹣（x﹣1）²+2，使得四邊形APBQ為正方形．