Question

如圖，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△OA′B′，C點的坐標(biāo)為（0，4）．
（1）求A′點的坐標(biāo)；
（2）求過C，A′，A三點的拋物線y=ax²+bx+c的解析式．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，∠A′OA的度數(shù)和旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)相同，可過A′作x軸的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中可根據(jù)OA′的長和∠A′OA的度數(shù)求出A′的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)C，A′，A三點的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）過點A′作A′D垂直于x軸，垂足為D，則四邊形OB′A′D為矩形．
在△A′DO中，∵A′D=OA′•sin∠A′OD=4×sin60°=2

3

，
OD=A′B′=AB=2，
∴點A′的坐標(biāo)為（2，2

3

）；

（2）∵C（0，4）在拋物線上，
∴c=4，
∴y=ax²+bx+4，
∵A（4，0），A′（2，2

3

）在拋物線y=ax²+bx+4上，
∴

16a+4b+4=0 4a+2b+4=2 3

，
解得，

a= 1- 3 2 b=2 3 -3

，
故所求拋物線的解析式為：y=

1- 3

2

x²+（2

3

-3）x+4．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換等知識點，難度不大．