如圖1,已知直線y=x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點,與x軸交于另一個點C,對稱軸與直線AB交于點E,拋物線頂點為D.

(1)求拋物線的解析式;
(2)在第三象限內(nèi),F(xiàn)為拋物線上一點,以A、E、F為頂點的三角形面積為3,求點F的坐標(biāo);
(3)點P從點D出發(fā),沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動,設(shè)運動的時間為t秒,當(dāng)t為何值時,以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形?直接寫出所有符合條件的t值.

(1)y=-x2-2x+3;(2)(,)  (3)當(dāng)t為秒或2秒或3秒或秒時,以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形

解析試題分析:(1)先由直線AB的解析式為y=x+3,求出它與x軸的交點A、與y軸的交點B的坐標(biāo),再將A、B兩點的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c,運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)設(shè)第三象限內(nèi)的點F的坐標(biāo)為(m,-m2-2m+3),運用配方法求出拋物線的對稱軸及頂點D的坐標(biāo),再設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點G,連接FG,根據(jù)S△AEF=S△AEG+S△AFG-S△EFG=3,列出關(guān)于m的方程,解方程求出m的值,進(jìn)而得出點F的坐標(biāo);
(3)設(shè)P點坐標(biāo)為(-1,n).先由B、C兩點坐標(biāo),運用勾股定理求出BC2=10,再分三種情況進(jìn)行討論:①∠PBC=90°,先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2,據(jù)此列出關(guān)于n的方程,求出n的值,再計算出PD的長度,然后根據(jù)時間=路程÷速度,即可求出此時對應(yīng)的t值;②∠BPC=90°,同①可求出對應(yīng)的t值;③∠BCP=90°,同①可求出對應(yīng)的t值.
試題解析:(1)∵y=x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,
∴當(dāng)y=0時,x=-3,即A點坐標(biāo)為(-3,0),
當(dāng)x=0時,y=3,即B點坐標(biāo)為(0,3),
將A(-3,0),B(0,3)代入y=-x2+bx+c,得
, 解得
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3;
(2)如圖1,

設(shè)第三象限內(nèi)的點F的坐標(biāo)為(m,-m2-2m+3),則m<0,-m2-2m+3<0.
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴對稱軸為直線x=-1,頂點D的坐標(biāo)為(-1,4),
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點G,連接FG,則G(-1,0),AG=2.
∵直線AB的解析式為y=x+3,
∴當(dāng)x=-1時,y=-1+3=2,
∴E點坐標(biāo)為(-1,2).
∵S△AEF=S△AEG+S△AFG-S△EFG=×2×2+×2×(m2+2m-3)-×2×(-1-m)=m2+3m,
∴以A、E、F為頂點的三角形面積為3時,m2+3m=3,
解得:,(舍去),
當(dāng)時,-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=,∴點F的坐標(biāo)為(,);
(3)設(shè)P點坐標(biāo)為(-1,n).
∵B(0,3),C(1,0),
∴BC2=12+32=10.
分三種情況:①如圖2,如果∠PBC=90°,那么PB2+BC2=PC2

即(0+1)2+(n-3)2+10=(1+1)2+(n-0)2,
化簡整理得6n=16,解得n=
∴P點坐標(biāo)為(-1,),
∵頂點D的坐標(biāo)為(-1,4),
∴PD=4-=,
∵點P的速度為每秒1個單位長度,
∴t1=;
②如圖3,如果∠BPC=90°,那么PB2+PC2=BC2,

即(0+1)2+(n-3)2+(1+1)2+(n-0)2=10,
化簡整理得n2-3n+2=0,解得n=2或1,
∴P點坐標(biāo)為(-1,2)或(-1,1),
∵頂點D的坐標(biāo)為(-1,4),
∴PD=4-2=2或PD=4-1=3,
∵點P的速度為每秒1個單位長度,
∴t2=2,t3=3;
③如圖4,如果∠BCP=90°,那么BC2+PC2=PB2

即10+(1+1)2+(n-0)2=(0+1)2+(n-3)2,
化簡整理得6n=-4,解得n=-,
∴P點坐標(biāo)為(-1,-),
∵頂點D的坐標(biāo)為(-1,4),
∴PD=4+=
∵點P的速度為每秒1個單位長度,
∴t4=
綜上可知,當(dāng)t為秒或2秒或3秒或秒時,以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形.
考點: 二次函數(shù)綜合題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如果一條拋物線軸有兩個交點,那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”.
(1)“拋物線三角形”一定是       三角形;
(2)如圖,△OAB是拋物線的“拋物線三角形”,是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD?若存在,求出過O、C、D三點的拋物線的表達(dá)式;若不存在,說明理由;
(3)在(2)的條件下,若以點E為圓心,r為半徑的圓與線段AD只有一個公共點,求出r的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A、B為x軸上兩點,C、D為y軸上的兩點,經(jīng)過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點A、D、B的拋物線的一部分C2組成一條封閉曲線,我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”,已知點C的坐標(biāo)為(0,-),點M是拋物線C2:y=mx2-2mx-3m(m<0)的頂點.

(1)求A、B兩點的坐標(biāo);
(2)“蛋線”在第四象限內(nèi)是否存在一點P,使得∆PBC的面積最大?若存在,求出∆PBC面積的最大值;若不存在,請說明理由;
(3)當(dāng)∆BDM為直角三角形時,請直接寫出m的值.(參考公式:在平面直角坐標(biāo)系中,若M(x1,y1),N(x2,y2),則M、N兩點間的距離為MN=.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

△ABC是銳角三角形,BC=6,面積為12.點P在AB上,點Q在AC上.如圖9-33,正方形PQRS(RS與A在PQ的異側(cè))的邊長為x,正方形PQRS與△ABC的公共部分的面積為y.

(1)當(dāng)RS落在BC上時,求x;
(2)當(dāng)RS不落在BC上時,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)求公共部分面積的最大值.

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如圖,直線y=x+3與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點A,B,頂點為C,連接CB并延長交x軸于點E,點D與點B關(guān)于拋物線的對稱軸MN對稱.

(1)求拋物線的解析式及頂點C的坐標(biāo);
(2)求證:四邊形ABCD是直角梯形.

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如圖,拋物線y=-x+4x+5交x軸于A、B(以A左B右)兩點,交y軸于點C.

(1)求直線BC的解析式;
(2)點P為拋物線第一象限函數(shù)圖象上一點,設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m,△PBC的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,連接AP,拋物線上是否存在這樣的點P,使得線段PA被BC平分,如果不存在,請說明理由;如果存在,求點P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過M(1,0)和N(3,0)兩點,且與y軸交于D(0,3),直線l是拋物線的對稱軸.

(1)求該拋物線的解析式.
(2)若過點A(﹣1,0)的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6,求此直線的解析式.
(3)點P在拋物線的對稱軸上,⊙P與直線AB和x軸都相切,求點P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCO是梯形,且BC∥AO,其中A(6,0),B(3,),∠AOC=60°,動點P從點O以每秒2個單位的速度向點A運動,動點Q也同時從點B沿B→C→O的線路以每秒1個單位的速度向點O運動,當(dāng)點P到達(dá)A點時,點Q也隨之停止,設(shè)點P,Q運動的時間為t(秒).

(1)求點C的坐標(biāo)及梯形ABCO的面積;
(2)當(dāng)點Q在CO邊上運動時,求△OPQ的面積S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
(3)以O(shè),P,Q為頂點的三角形能構(gòu)成直角三角形嗎?若能,請求出t的值;若不能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,拋物線y=x2+mx+n交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,點P是它的頂點,點A的坐標(biāo)是(1,0),點B的坐標(biāo)是(﹣3,0).

(1)求m、n的值;
(2)求直線PC的解析式.
[溫馨提示:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(biāo)為(﹣,)].

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