Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=a，在線段BC上任取一點(diǎn)P，連接DP，作射線PE⊥DP，PE與直線AB交于點(diǎn)E．
（1）試確定CP=3，點(diǎn)E的位置；
（2）若設(shè)CP=x，BE=y，試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若在線段BC上能找到不同的兩點(diǎn)P₁，P₂使按上述作法得到的點(diǎn)E都與點(diǎn)A重合，試求出此時(shí)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)CP=3時(shí)，易知四邊形ADPB是矩形，由DP⊥BC，PE⊥DP，得出點(diǎn)E與點(diǎn)B重合；
（2）作DF⊥BC，F(xiàn)為垂足．欲求y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式，分為兩種情況點(diǎn)P在BF上，點(diǎn)P在CF上，通過證明Rt△PEB∽Rt△DPF分別得出；
（3）點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，求出此時(shí)a的取值范圍，可由（2）得出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意及根的判別式得出．

解答：解：（1）作DF⊥BC，F(xiàn)為垂足．
當(dāng)CP=3時(shí)，
∵四邊形ADP（F）B是矩形，則CF=3，
∴點(diǎn)P與F重合．
又BF⊥FD，
∴此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合；（2分）

（2）當(dāng)點(diǎn)P在BF上時(shí)，
因而Rt△PEB∽Rt△DPF
∴

BE

BP

=

FP

FD

①
y=-

(12-x)(x-3)

a

=-

(x2-15x+36)

a

②
當(dāng)點(diǎn)P在CF上時(shí)，同理可求得y=

(x2-15x+36)

a

；（6分）

（3）當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，y=EB=a，此時(shí)點(diǎn)P在線段BF上，
由②得，a=

(x2-15x+36)

a

，
整理得，x²-15x+36-a²=0 ③
由于在線段BC上能找到兩個(gè)不同的點(diǎn)P₁與P₂滿足條件，也就是說方程③有兩個(gè)不相等的正根（8分）
故有△=（-15）²-4×（36-a²）＞0．
解得：a²＜

81

4

，
又∵a＞0，
∴0＜a＜

9

2

．（只寫a＜

9

2

不扣分）（10分）

點(diǎn)評：本題數(shù)形結(jié)合，綜合考查了直角梯形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)中根的判別式的應(yīng)用．