Question

如圖，PA、PB、CD分別切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D兩點，若∠P=68°，則∠PAE+∠PBE的度數(shù)為    ．

Answer 1

【答案】分析：由PA與CD為圓的切線，利用切線長定理得到CA=CE，利用等邊對等角得到一對角相等，同理由PB與DC為圓的切線，利用切線長定理得到DE=DB，利用等邊對等角得到一對角相等，可得出∠PAE+∠PBE=∠CEA+∠DEB，若求出∠AEB的度數(shù)，可得出所求角之和的度數(shù)，而∠AOP與∠OBP都為直角，在四邊形APBO中，利用四邊形的內(nèi)角和定理，由∠P的度數(shù)，求出∠AOB的度數(shù)，得到大角∠AOB的度數(shù)，利用同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半，求出∠AEB的度數(shù)，即可求出∠CEA+∠DEB的度數(shù)，即為∠PAE+∠PBE的度數(shù)．
解答：解：∵PA、PB、CD分別為⊙O的切線，
∴CA=CE，DE=DB，∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠PAE=∠CEA，∠PBE=∠DEB，
又∠P=68°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-68°=112°，
∴大角∠AOB=248°（大角為大于平角的角），
∵圓周角∠AEB與圓心角大角∠AOB對同一條弧，
∴∠AEB=大角∠AOB=124°，
則∠PAE+∠PBE=∠CEA+∠DEB=180°-∠AEB=56°．
故答案為：56°．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，等腰三角形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理，以及圓周角定理，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．