Question

如圖1，在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O作兩條夾角為60°的數(shù)軸，使它們以點(diǎn)O為公共原點(diǎn)且具有相同的單位長度，這樣在平面內(nèi)建立的坐標(biāo)系稱為斜坐標(biāo)系，我們把水平放置的數(shù)軸稱為橫軸（記作a軸），將斜向放置的數(shù)軸稱為斜軸（記作b軸）．類似
于直角坐標(biāo)系，對于斜坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作b軸、a軸的平行線交a軸、b軸于點(diǎn)M、N，若點(diǎn)M、N分別在a軸、b軸上所對應(yīng)的實(shí)數(shù)為m與n，則稱有序?qū)崝?shù)對（m，n）為點(diǎn)P的坐標(biāo)．可知建立了斜坐標(biāo)系的平面內(nèi)任意一個點(diǎn)P與有序?qū)崝?shù)對（m，n）之間是相互唯一確定的．

（1）請寫出圖2（其中虛線均平行于a軸或b軸）中點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在圖中標(biāo)出點(diǎn)Q（2，-3）；
（2）如圖3（其中虛線均平行于a軸或b軸），在斜坐標(biāo)系中點(diǎn)A（1，4）、B（1，-1）、C（6，-1）．

①判斷△ABC的形狀，并簡述理由；
②如果點(diǎn)D在邊BC上，且其坐標(biāo)為（2.5，-1），試問：在邊BC上是否存在點(diǎn)E使△ACE與△ABD相全等？如有，請寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并說明它們?nèi)�等的理由；如沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）點(diǎn)P（5，4），點(diǎn)Q坐標(biāo)如圖所示；

（2）①△ABC是等邊三角形，
∵AB∥b軸，BC∥a軸，
∴∠ABC=60°．
∵AB=|-1-4|=5，BC=|6-1|=5，
∴AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．
②存在．
∵B（1，-1）、D（2.5，-1），
∴BD=2.5-1=1.5，
取CE=1.5，
則6-1.5=4.5，
∴存在點(diǎn)E（4.5，-1），使BD=CE，
在△ABD與△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE．
分析：（1）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定方法確定即可；
（2）①根據(jù)圖形求出AB=BC=5，又∠B=60°，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可判斷；
②存在，根據(jù)題意求出BD的長度，然后使CE=BD，根據(jù)邊角邊定理即可證明△ACE與△ABD全等．
點(diǎn)評：本題考查了平面直角坐標(biāo)系的拓廣，等邊三角形的判定，全等三角形的判定，讀懂題目信息，并根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的知識以及全等三角形的判定解決是解題的關(guān)鍵，對同學(xué)們學(xué)以致用的能力有一定要求．