Question

某商店銷售一種商品，每件的進價為2.5元，根據市場調查，銷售量與銷售單價滿足如下關系：在一段時間內，單價是13.5元時，銷售量為500件，而單價每降低1元，就可以多售出200件．請你分析，銷售單價多少時，可以獲利最大？

Answer 1

分析：通過閱讀，我們可以知道，商品的利潤和售價、銷售量有關系，它們之間呈現(xiàn)如下關系式：總利潤=單個商品的利潤×銷售量．要想獲得最大利潤，并不是單獨提高單個商品的利潤或僅大幅提高銷售量就可以的，這兩個量之間應達到某種平衡，才能保證利潤最大．因為已知中給出了商品降價與商品銷售量之間的關系，所以，我們完全可以找出總利潤與商品的價格之間的關系，利用這個等式尋找出所求的問題，這里我們不妨設每件商品降價x元，商品的售價就是（13.5-x）元了．單個的商品的利潤是（13.5-x-2.5），這時商品的銷售量是（500+200x），總利潤可設為y元．利用上面的等量關式，可得到y(tǒng)與x的關系式了，若是二次函數(shù)，即可利用二次函數(shù)的知識，找到最大利潤．

解答：解：設每件商品降價x元，
商品的售價就是（13.5-x）元，單個的商品的利潤是（13.5-x-2.5）元，
這時商品的銷售量是（500+200x）件．
設總利潤為y元，
則y=（13.5-x-2.5）（500+200x）=-200x²+1700x+5500，
∵-200＜0，
∴y有最大值；
∴當x=-

1700

2×(-200)

=4.25時，
y_最大值=

4×(-200)×5500-17002

4×(-200)

=9112.5，
即當每件商品降價4.25元，即售價為13.5-4.25=9.25時，可取得最大利潤9112.5元．

點評：此題運用了數(shù)學建模思想把實際問題轉化為數(shù)學問題．運用函數(shù)性質求最值常用公式法或配方法．