Question

7．如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，切線CD交AB的延長線于D．
（1）求證：△CBD∽△ACD．
（2）若CD=4，BD=2，求直徑AB的長．
（3）在（2）的前提下求tan∠CAB的值．

Answer 1

分析 （1）由AB為直徑得到∠ACO+∠BCO=90°，利用切線的性質得∠BCO+∠BCD=90°，則根據等角的余角相等得到∠BCD=∠ACO，加上∠ACO=∠A，則∠A=∠BCD，則可根據相似三角形的判定方法可得到結論；
（2）由△CBD∽△ACD得到DC：DA=DB：DC，然后利用比例性質可求出AB；
（3）由△CBD∽△ACD得到$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，然后根據正切的定義求解．

解答 （1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
∵CD為切線，
∴OC⊥CD，
∴∠BCO+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∴∠A=∠BCD，
而∠BDC=∠CDA，
∴△CBD∽△ACD；
（2）解：∵△CBD∽△ACD，
∴DC：DA=DB：DC，即4：（2+AB）=2：4，
∴AB=6；
（3）解：∵△CBD∽△ACD，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ABC中，tan∠CAB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了三角形相似的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在運用相似三角形的性質時，主要利用相似進行幾何計算．也考查了切線的性質．