Question

如圖，等邊△ABC中，AB=6，將一直角三角板DEF的60°角的頂點(diǎn)E置于邊BC上移動(dòng)（不與B、C重合），移動(dòng)過(guò)程中，始終滿足直角邊DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，斜邊EF交AC于點(diǎn)G．
（1）求證：△ABE∽△ECG；
（2）探究：在點(diǎn)E移動(dòng)過(guò)程中，兩三角形重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？
（3）當(dāng)線段AG最短時(shí)，求重疊部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,等邊三角形的性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=∠AEG=60°，求出∠BAE=∠CEG即可；
（2）在點(diǎn)E移動(dòng)過(guò)程中，兩三角形重疊部分不能構(gòu)成等腰三角形，分為三種情況討論即可；
（3）設(shè)BE=x，根據(jù)△ABE∽△ECG求出CG=-

1

6

x²+x=-

1

6

（x-3）²+

9

2

，得出當(dāng)x=3時(shí)，AG最短為4.5，求出EG=

3 3

2

，根據(jù)三角形面積求出即可．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=∠AEG=60°，
∴∠AEB+∠CEG=180°-∠AEG=120°，∠AEB+∠BAE+=180°-∠B=120°，
∴∠BAE=∠CEG，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECG；

（2）解：在點(diǎn)E移動(dòng)過(guò)程中，兩三角形重疊部分不能構(gòu)成等腰三角形，
理由是：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°，
∵∠AEG=60°，∠AGE＞∠C，
∴∠AGE＞∠AEG，
∴AE＞AG，即AE和AG不相等；
∵∠EAG＜∠BAC，∠AGE＞∠C，∠BAC=∠C=60°，
∴∠EAG＜∠AGE，
∴AE＞EG，即AE和EG不相等；
∵∠EAG＜∠BAC，∠BAC=∠AEG=60°，
∴∠AEG＜∠EAG，
∴AG＞EG，即AG和EG不相等，
即在點(diǎn)E移動(dòng)過(guò)程中，兩三角形重疊部分不能構(gòu)成等腰三角形；

（3）解：設(shè)BE=x，則CE=6-x，
∵△ABE∽△ECG，
∴

CG

BE

=

CE

AB

，
∴

CG

x

=

6-x

6

，
∴CG=-

1

6

x²+x=-

1

6

（x-3）²+

3

2

，
∴當(dāng)x=3時(shí)，CG最長(zhǎng)為

3

2

，AG最短為6-

3

2

=4.5，
又∵當(dāng)BE=3時(shí)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵∠AEF=60°=∠C，
∴∠CEG=30°，
∴∠EGC=180°-60°-30°=90°，
∴EF⊥AC，
∴EG=CE•sin60°=

3 3

2

，
∴S_△AEG=

1

2

×

3 3

2

×

9

2

=

27 3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生推理和計(jì)算能力，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大，注意：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等．