Question

如圖（1），拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-3）．      （注：圖（2）、圖（3）為解答備用圖）
（1）求k值及A和B的坐標；
（2）設拋物線y=x²-2x+k與的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）在拋物線y=x²-2x+k與上求點Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）將C點坐標代入拋物線解析式可求k的值，由拋物線解析式求A，B兩點坐標；
（2）根據(jù)A、B、M、N四點坐標，將四邊形分割為兩個三角形和一個梯形求面積；
（3）只要使△DBC面積最大即可，由此求D點坐標；
（4）分別過B，C兩點作線段BC的垂線，交拋物線于Q點，求直線BQ或CQ的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立可求Q點坐標．
解答：解：（1）將C（0，-3）代入拋物線y=x²-2x+k中，得k=-3，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3，令y=0，得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）如圖（1），過M點作MN⊥AB，垂足為N，由y=x²-2x-3=（x-1）²-4，可知M（1，-4），
∴S_{四邊形ABMC}=S_△ACO+S_梯形OCMN+S_△BMN=×1×3+×（3+4）×1+×（3-1）×4=9；

（3）存在，如圖（2），設D（m，m²-2m-3），過D點作DE⊥AB，垂足為E，則
S_{四邊形ABDC}=S_△ACO+S_梯形OCDE+S_△BDE
=×1×3+×[3-（m²-2m-3）]×m+×（3-m）×[-（m²-2m-3）]
=-m²+m+6，
∵-＜0，∴當m=-=時，S_{四邊形ABDC}最大，此時D（，-）；

（4）如圖（3），∵B（3，0），C（0，-3），
∴△OBC為等腰直角三角形，
過B作線段BC的垂線，交拋物線于Q′點，則直線BQ′：y=-x+3，聯(lián)立，解得Q′（-2，5），
過C作線段BC的垂線，交拋物線于Q點，同理可得Q（1，-4）．
∴Q（1，-4）或（-2，5）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關鍵是根據(jù)題意求拋物線解析式，將四邊形分割為三角形與梯形的面積和求解，同時考查了坐標系中，線段的垂直關系．